luận văn phương pháp ẩn phụ trong giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình
luận văn phương pháp ẩn phụ trong giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình
. Lí do chọn đề tài
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc phổ thông. Có nhiều phương pháp giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, trong đó phương pháp ẩn phụ tỏ ra có hiệu quả đối với một số lớp phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Trong chương trình toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, học sinh được làm quen với phương pháp ẩn phụ khi giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở mức độ nhất định. Việc vận dụng phương pháp ẩn phụ vào giải toán cũng như rèn luyện kỹ năng này là cần thiết đối với học sinh phổ thông.
Là một giáo viên giảng dạy toán bậc phổ thông của quốc gia Lào, là một học viên đang học sau đại học ngành phương pháp toán sơ cấp tôi muốn tìm hiểu kĩ phương pháp ẩn phụ trong giải toán, nên tôi chọn đề tài: “ Phương pháp ẩn phụ trong giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ” cho luận văn tốt nghiệp của mình.
- Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các dấu hiệu để nhận biết một phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có thể giải được bằng phương pháp ẩn phụ.
- Hệ thống và phân loại các lớp bài toán giải được bằng phương pháp ẩn phụ.
- Đưa ra quy trình giải cho từng lớp bài toán, cùng với những ví dụ minh hoạ.
- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ trong giải toán.
- Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thuộc chương trình phổ thông (của Việt Nam và Lào).
- Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua các sách giáo khoa, sách tham khảo, các tạp chí toán và các tài liệu trên internet.
- Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống các tài liệu sưu tầm được để thực hiện luận văn.
- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn và các chuyên gia.
- Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày sơ lược khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ. Nhắc lại một số hệ thức đại số và hệ thức lượng giác để làm cơ sở cho các chương sau.
Chương 2. Giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp ẩn phụ
Trình bày phương pháp ẩn phụ để giải các phương trình và các hệ phương trình đại số.
Chương 3. Giải bất phương trình bằng phương pháp ẩn phụ
Chương này trình bày phương pháp ẩn phụ để giải các bất phương trình đại số
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này giới thiệu sơ lượt khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ, và nhắc lại một số hệ thức đại số, hệ thức lượng giác để làm cơ sở cho các chương sau
1.1 KHÁI NIỆM BIẾN, ẨN, ẨN PHỤ
Thuật ngữ biến dùng để chỉ các đại lượng (chẳng hạn các đại lượng vật lý như khối lượng, thời gian, các đại lượng hình học như độ dài, diện tích, thể tích,…) có thể nhận các giá trị khác nhau trong một tập hợp nào đấy (được gọi là miền biến thiên của nó). Theo quan điểm động, người ta gọi chúng là các đại lượng biến thiên, hay đơn giản là các biến. Nếu tập hợp các giá trị của biến là tập hợp số thì nó được gọi là biến số. Nói cách khác biến số là một đại lượng có thể nhận giá trị bất kỳ, không bắt buộc phải có duy nhất một giá trị (không có giá trị nhất định), biến số là đại lượng có thể thay đổi giá trị trong một tình huống có thể thay đổi. Ngược lại với khái niệm biến số là khái niệm hằng số. Hằng số là một số không thể thay đổi trong bất kỳ các tình huống nào. Cũng có những biến không phải là biến số như: biến lôgic, biến Boolean, biến ký tự,… Giá trị của các biến thường liên quan với nhau. Khi xét quan hệ giữa các biến với nhau, các biến mà độc lập với các biến khác được gọi là các biến độc lập, các biến mà nhận giá trị phụ thuộc vào những biến khác, được gọi là biến phụ thuộc.
Khi xét quan hệ phụ thuộc giữa các biến, mà đã biết giá trị của một số biến nào đó, ta có thể xác định giá trị của một hoặc nhiều biến chưa biết. Khi đó các biến cần tìm giá trị được gọi là các ẩn (ẩn số), các biến đã biết giá trị được gọi là các tham biến (tham số), còn hệ thức biểu diễn mối liên hệ giữa các biến (thường là một đẳng thức, bất đẳng thức) được gọi là các phương trình, bất phương trình, việc tìm giá trị của các ẩn được gọi là giải phương trình, bất phương trình. Các giá trị tìm được của các ẩn được gọi là nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Ẩn phụ là ẩn mới khác với ẩn đã cho ban đầu của bài toán, có tác dụng cải tiến hoặc chyển hóa bài toán, được đặt ra nhằm đơn giản hóa bài toán về dụng cơ bản hoặc những dạng đã biết cách giải. Ẩn phụ đại diện cho những biểu thức nào đó với các điều kiện cụ thể, chúng thường được đặt ra khi bài toán chứa những biểu thức có quan hệ với nhau như: giống nhau, đối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch đảo nhau…
1.2 PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ
Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp khá phổ biến đối với một số lớp bài toán như: giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Phương pháp ẩn phụ khá đa dạng, có thể đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn (còn ẩn đã cho ban đầu), có thể đặt một hoặc nhiều ẩn phụ, có thể dùng ẩn phụ đại số hoặc ẩn phụ lượng giác…Tùy vào từng bài toán cụ thể mà chọn ẩn phụ thích hợp.
Có nhiều bài toán mà dấu hiệu ẩn phụ không xuất hiện ngay từ các dữ liệu ban đầu mà chỉ xuất hiện sau một quá trình biến đổi, trường hợp cần đến những kinh nghiệm mang tính kỹ thuật trong giải toán.
Quy trình của phương pháp ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) để phương trình, hệ phương trình, bất phương trình được xác định.
Bước 2: Biến đổi phương trình, hệ phương trình, bất phương trình để làm xuất hiện dấu hiệu của ẩn phụ (nếu cần). Chọn ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình qua ẩn phụ.
Bước 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ. Từ giá trị của ẩn phụ vừa tìm được ta tìm ẩn chính ban đầu, đối chiếu với điều kiện và kết luận.
1.3 CÁC KẾT QUẢ CẦN THIẾT
1.3.1 Một số kết quả đại số
1.3.1.1 Hai bất đẳng thức cơ bản
a ) Bất đẳng thức AM-GM:
Với ta có .
Dấu “=” xảy ra khi .
b ) Bất đẳng thức BCS :
Với mọi ta luôn có :
.
Dấu “=” xảy ra khi .
1.3.1.2 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
a ) Phương trình, bất phương trình chứa căn :
,
, ,
b ) Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:
Từ tính đơn điệu của hàm số mũ, ta có với mọi thì:
Từ tính đơn điệu của hàm số logarit ta có các đẳng thức và bất đẳng thức sau
1.3.2 Một số hệ thức lượng giác
a ) Công thức lượng giác cơ bản
Với , ta có:
Với , ta có:
b ) Công thức cộng
c ) Công thức nhân đôi
d ) Công thức hạ bậc
e ) Công thức biểu diễn các hàm lượng giác theo
f ) Công thức nhân ba
g ) Công thức biến đổi tổng thành tích
h ) Công thức biến đổi tích thành tổng
