luận văn một số phương pháp giải phương trình hàm

Lí do chọn đề tài

Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số. Giải phương trình hàm tức là đi tìm các hàm số chưa biết đó.

Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của lý thuyết số và giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm các phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến tính, phương trình hàm một ẩn hoặc nhiều ẩn…

Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng bồi dưỡng học sinh khá giỏi bậc trung học phổ thông. Các bài toán về phương trình hàm thường có trong các đề thi học sinh giỏi toán trong và ngoài nước. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các trường chuyên, lớp chọn nói riêng và người giải toán nói chung còn biết ít các phương pháp chính thống để giải phương trình hàm, thậm chí còn lúng túng không biết định hướng khi tiếp cận các bài toán về phương trình hàm.

Với mục đích trên, chúng tôi cố gắng tìm hiểu các vấn đề về phương trình hàm để phục vụ cho công việc giảng dạy và nghiên cứu của mình tốt hơn. Do vậy, chúng tôi chọn đề tài luận văn thạc sỹ của mình là: Một số phương pháp giải phương trình hàm.

Mục đích nghiên cứu
Luận văn đã nêu ra được một số kiến thức cơ bản trong đại số và giải tích có ứng dụng nhiều trong việc giải quyết các bài toán phương trình hàm.
Luận văn đã hệ thống và phân loại một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải của các bài toán phương trình hàm với nhiều bài toán có lời giải, nhận xét và bình luận.
Luận văn đã nêu ra một số hướng khai thác mở rộng, tổng quát và các hướng tư duy tìm lời giải cùng các biến hoá trong một số dạng toán phương trình hàm.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung khái niệm phương pháp giải phương trình hàm: các định nghĩa về hàm số liên tục, hàm số chẵn lẻ, các tính chất và cách tiếp cận nó ở trường trung học phổ thông.
Xem xét các phương pháp giải phương trình hàm để giải các bài toán.
Đơn giản hoá các bài toán giải được bằng cách áp dụng các phương trình hàm.
Nhằm nâng cao năng lực tư duy cho học sinh cần thiết phải nghiên cứu xây dựng chuỗi các bài toán từ một bài toán gốc, cũng như vận dụng bài toán tổng quát nhằm hướng đến đối tượng là học sinh giỏi.
Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên và các tài liệu tham khảo về các phương pháp giải phương trình hàm. Từ đó phân loại các dạng toán có thể dùng phương pháp giải phương trình hàm để giải. Đồng thời đưa ra các quy trình giải cho từng dạng toán cụ thể. Qua đó, định hướng cho học sinh qua cách nhìn nhận, cách phân tích một bài toán có thể dùng phương pháp giải phương trình hàm để giải chúng.

Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trình bày về những kiến thức cơ bản được dùng trong các chương sau như: Hàm số liên tục, hàm số chẵn và hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn và hàm số phản tuần hoàn, tính đơn điệu của hàm số.

Chương 2. Một số phương trình hàm cơ bản

Trình bày về một số phương trình hàm cơ bản như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen và những ứng dụng của chúng trong việc giải toán; phương trình hàm Pixeder.

Chương 3. Một số phương pháp giải phương trình hàm

Trình bày một số phương pháp giải phương trình hàm thông dụng. Ở mỗi phương pháp bắt đầu bằng phương pháp giải, sau đó là các bài toán, cuối cùng là các bài toán vận dụng.

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng ta chỉ trình bày các định nghĩa, tính chất cơ bản liên quan đến hàm số phục vụ cho các bài toán được trình bày trong các chương sau. Ta quan tâm tới các hàm số với tập xác định và tập giá trị .

Hàm số liên tục
- Định nghĩa về hàm số liên tục

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử hàm số xác định trong và . Ta nói hàm số liên tục tại nếu với mọi dãy , sao cho ta đều có .

Định nghĩa này tương đương với định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.2. Hàm số xác định trong được gọi là liên tục tại nếu . Điều này có nghĩa là: Với mọi số , tồn tại số sao cho với mọi thoả mãn thì .

Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại .

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử hàm số xác định trên một tập , tập có thể là một khoảng hoặc hợp của các khoảng thuộc . Ta nói hàm số liên tục trên nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc .

Định nghĩa 1.1.4. Hàm số xác định trên đoạn được gọi là liên tục trên nếu nó liên tục trên khoảng và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b.

Tính chất của hàm số liên tục

Ở mục trên, ta đã có các cách xác định một hàm số liên tục. Tuy nhiên việc sử dụng các định nghĩa đó không phải lúc nào cũng đơn giản. Do vậy, người ta đã chứng minh được các tính chất rất hữu ích, giúp ta xác định nhanh các hàm liên tục, như sau:

Các hàm sơ cấp cơ bản như: hàm lũy thừa, hàm căn thức, hàm lượng giác, hàm logarít … liên tục trên miền xác định của chúng.
Giả sử và là các hàm liên tục trên . Khi đó , cũng là các hàm liên tục trên D.
Giả sử với mọi , khi đó cũng là hàm liên tục. Trong trường hợp ngược lại, nó liên tục trên tập xác định của nó.

Một số tính chất khác của hàm số liên tục:

Định lý 1.1.5. (Định lý về giá trị trung gian).

Giả sử liên tục trên đoạn . Nếu thì với mọi số thực M nằm giữa f(a) và f(b) đều tồn tại sao cho .

Sau đây, chúng tôi trình bày các tính chất của các hàm số liên tục.

Mệnh đề 1.1.6. Giả sử và là hai hàm xác định và liên tục trên . Khi đó nếu với mọi thì trên .

Nhận xét 1.1.7. Trong mệnh đề trên ta có thể thay giả thiết với mọi bằng giả thiết với mọi , trong đó A là tập hợp trù mật trong bất kỳ. Với định nghĩa về tập hợp trù mật như sau:

Định nghĩa 1.1.8. Tập được gọi là tập trù mật trong nếu và chỉ nếu thì đều tồn tại sao cho .

Ví dụ 1.1.9.