PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TRUNG HỌC

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một lĩnh vực toán học có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác. Nó có vai trò quan trọng trong nghiên cứu tin học, quá trình ngẫu nhiên kể cả trong vật lý và truyền thông…

Đối với chương trình toán bậc trung học thì phương trình hàm lại xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, mà đa số học sinh thường ít quen biết với dạng toán này.

Hiện nay, nước Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào của chúng tôi đang chú trọng phát triển giáo dục, nên với tinh thần đó tôi cố gắng tìm hiểu về phương trình hàm để phục vụ cho công việc giảng dạy của mình tốt hơn. Với lý do như vậy tôi chọn đề tài luận văn thạc sỹ của mình là: “Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung học”.

2. Mục đích nghiên cứu:

Tìm hiểu lịch sử phát triển của phương trình hàm và phân loại, ứng dụng chúng trong giải toán bậc trung học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu là tìm hiểu các loại phương trình hàm có liên quan đến chương trình toán bậc trung học . Ngoài ra chúng tôi có nghiên cứu một ít về lịch sử hình thành của phương trình hàm.

4. Phương pháp nghiên cứu

Trước hết chúng tôi tìm hiểu và thu thập các tài liệu liên quan về Phương trình hàm. Sau đó chúng tôi sẽ tìm hiểu kỹ lưỡng và sắp xếp theo các dạng toán cụ thể.

5. Cấu trúc của luận văn

Luận văn được chia làm 3 chương như sau:

Chương 1. Lịch sử phát triển của phương trình hàm.

1.1.Sự ra đời của phương trình hàm

1.2. Các phương trình hàm đồng dạng

1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

1.4. Một số ví dụ minh họa

Chương 2. Các dạng phương trình hàm cơ bản

2.1. Phương trình hàm Cauchy

2.2. Phương trình hàm Jensen

2.3. Phương trình hàm Pexider

2.4. Phương trình hàm Vincze

2.5. Phương trình hàm Euler

2.6. Phương trình hàm D^’Alembert

Chương 3. Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung học

3.1. Các phương trình hàm với giả thiết hàm liên tục

3.2. Các phương trình hàm với giả thiết hàm khả vi.

3.3. Các phương trình đa thức

3.4. Giải phương trình hàm bằng cách dùng chuỗi lũy thừa

Chương 1

Lịch sử phát triểN của phương trình hàm

SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Trong đại số ở trường phổ thông trung học, chúng ta tìm hiểu về phương trình đại số liên quan đến một hoặc nhiều ẩn là các số thực chưa biết. Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại số, tuy nhiên ẩn của nó là một hoặc nhiều hàm số. Bài toán về phương trình hàm xuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi toán. Vì vậy, luận văn này sẽ nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề liên quan đến phương trình hàm ở bậc phổ thông trung học. Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học.

. Nicole Orsme (1323-1382)

Nicole Orsme là một nhà toán học người Pháp, ông là một trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ,

Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số f(x) thỏa mãn với mọi , đôi một phân biệt, phương trình hàm sau:

(1.1.1)

Và Nicole Orsme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1.1) là: f(x)=ax+b với a,b là hằng số.

1.1.2. Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667)

Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregoire de Saint-Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm f(xy)=f(x)+f(y).

Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường ông đã kí hiệu diện tích đó là f(t) và chứng tỏ f(t) thỏa mãn phương trình hàm:

f(xy)=f(x)+f(y),

Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm với a > 0,a1

Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm f(x)+f(y)=f(xy) , thì phải đến 200 năm sau mới tìm được nhờ công của Augustin-Louis Cauchy (1789-1885).

1.1.3. Augustin-Louis Cauchy (1789-1885)

Năm 1805, khi 16 tuổi Cauchy đã gặp được một thầy dạy Toán giỏi và đã thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa. Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường và tuy mới 18 tuổi nhưng ông đã vượt qua các bạn học 20 tuổi, mặc dù các bạn này đã học 2 năm ở trường này rồi. Năm 1813, ông dạy toán ở Trường Bách Khoa và thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp.

Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ, ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên, ông chủ yếu được biết đến trên lĩnh vực toán học và được công nhận là một trong những người sáng lập nên toán học hiện đại.

Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình hàm. Các chủ để của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính xác hơn từ công việc của Augustin-Louis Cauchy. Một trong những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có dạng:

, (1.1.2)

Nghiệm của phương trình (1.1.2) có dạng f(x)=ax+b.

Phương trình (1.1.2) cũng đã được Carl Friedrich Gauss (1777-1855) và Legandre nghiên cứu khi tìm ra định lí cơ bản của hình học xạ ảnh và khi nghiên cứu phân phối Gauss về phân bố xác suất. G. Darbour cũng đã nghiên cứu phương trình (1.1.2) và chỉ ra rằng chỉ cần f(x) hoặc liên tục tại một điểm, hoặc bị chặn trên (hoặc dưới) trên một khoảng đủ nhỏ thì nghiệm của phương trình (1.1.2) vẫn là f(x) = kx. Sau đó các nhà toán học còn đưa ra nhiều hạn chế nữa, nhưng việc chỉ ra hàm số không liên tục và thỏa điều kiện (1.1.2) mãi đến năm 1905 mới được thực hiện bởi nhà toán học người Đức Georg Hamel (1877-1954) với việc đưa ra hệ cở sở Hamel của tập số thực R.

Thật bất ngờ là một trong những phương trình hàm cơ bản lại có liên quan chặt chẽ đến nhị thức Newton.

Từ hàng thế kỷ trước Newton, các nhà toán học đã biết đến công thức

(1.1.3)

đúng với mọi nvà với mọi x, trong đó các tổ hợp được xác định từ tam giác Pascal và được tính theo công thức:

(với i là số tự nhiên)

(1.1.4)

1.1.4. Jean d’Alembert (1717-1783)

Jean d’Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn.

Trong lịch sử, Jean d’Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn đề về phương trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau Cauchy.

Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông đã xét phương trình:

(1.1.5)

Với Phương trình (1.1.3) bây giờ được gọi là phương trình d’Alembert. Yêu cầu đặt ra là phải tìm ra tất cả các hàm thỏa mãn phương trình (1.1.3), ở đây chúng ta đang gặp một khó khăn lớn trong việc tìm nghiệm so với phương trình Cauchy. Phương trình này làm ta liên tưởng đến các tính chất của các hàm số lượng giác. Xét các hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm số g(x)= cos(x) thỏa mãn nhưng hàm số g(x)= sin(x) thì lại không thỏa mãn. Câu hỏi đặt ra là liệu có còn các nghiệm khác không? Và người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng g(x)= b.cosax, với việc chọn các hằng số a, b phù hợp. Tuy nhiên, khi thay x = y = 0 vào phương trình (1.1.3) ta được g(0)=g²(0), suy ra g(0)= 0 hoặc g(0)= 1 lần lượt tương ứng với trường hợp b = 0 và b = 1. Với a là một hằng số tùy ý, nếu g(x) là một nghiệm bất kì của phương trình (1.1.5) thì g(ax) cũng là một nghiệm.

Như vậy, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành g(x)=0 hoặc g(x)=cosx.

Người ta lại tự hỏi, ngoài các nghiệm trên thì có nghiệm nào khác không? Câu trả lời là có.Và một lần nữa, vào năm 1821, Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện g(x) là hàm liên tục và được nghiệm là: g(x)=0, g(x)=cosax

hoặc

Sau đó người ta nghiên cứu và đã viết lại nghiệm trên thành : g(x)=0, g(x)=cosax hoặc

1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐỒNG DẠNG

Định nghĩa: phương trình hàm đồng dạng với một phương trình hàm nhiều biến là phương trình hàm 1 biến đơn thu được từ phương trình hàm nhiều biến bằng cách cho các biến đó bằng nhau,

Ví dụ: Xét phương trình Cauchy 2 biến :

Khi thay : , Ta thu được phương trình đồng dạng với nó là:

Trong nhiều trừơng hợp. việc hạn chế nên của biến số cũng giúp ta tìm ra lời giải một cách rõ ràng và thuận lợi. Để minh thọa cho điều này ta xét ví dụ thú vị sau đây:

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Đinh lí: 1.3.1 Chúng ta luôn quan tâm rằng với các điều kiện nào đó mỗi phương trình hàm chỉ có một nghiệm duy nhất. Thông thường mỗi phương trình hàm có thể có rất nhiều nghiệm.

Ví dụ : Tìm tất cả các hàm số f : [1,+)[1,+ ) ,

sao cho : f(xf(y)) = yf(x) , với mọi x , y thuộc [1,+ ).

Giải: Ta nhận thấy f(x) = x là nghiệm của bài toán. Ta sẽ chứng minh nghiệm đó là duy nhất : Cho x = y = 1 thì f(f(1)) = f(1)

Cho y = f(1) thì f(xf(f(1))) = f(1)f(x) f(xf(1)) = f(1)f(x) .

Mặt khác : f(xf(1)) = f(x) (gt). f(1)f(x) = f(x) f(1) = 1, (f(1)

Cho x = 1 ta được: f(f(y)) = y (i)

Nếu f(y) = 1 f(fy)) = f(1) = 1 , từ (i) y = 1.

Vậy : f(y) > 1 ,

Nếu x > y thì f(x) = f(y) = f(f(f(y)) = f(y)f() (ii)

Do x > y >1 f() >1

(ii) f(x) > f(y) suy ra f(x) đồng biến trên [1,+).

Giả sử x₀ ; f(x₀) x_o ta xét các trường hợp sau :

Trường hợp 1: f(x₀) > x₀ f(f(x₀)) > f(x₀) x₀ > f(x₀) vô lý .

Trường hợp 2 : f(x₀) < x₀ f(f(x₀)) < f(x₀) x₀ < f(x₀) vô lý .

Vậy f(x) = x ,

1.4. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài toán 1.4.1 Tìm các hàm thỏa mãn phương trình

(1.4.1)

Lời giải.

Thay bởi ta có: (1.4.2)

Nhân (1.4.1) với 2 rồi trừ cho (1.4.2) ta có:

Vậy :

Bài toán 1.4.2. Cho thỏa mãn phương trình hàm

(1.4.3)

thỏa mãn bất phương trình

(1.4.4)

mọi Khi đó

Chứng minh .

Thay bởi trong phương trình (1.4.4), ta được:

(1.4.5)

Từ (1.4.3) ta có:

(1.4.6)

Kết hợp (1.4.5) và (1.4.6) Ta thấy rằng:

(1.4.7)

lấy căn bậc hai các vế ở (1.4.7) ta được:

(1.4.8)

Tiếp tục thay bởi vào (1.4.8).ta được.

(1.4.9)

So sánh (1.4.5) và (1.4.9) và áp dụng k lần ta sẽ có:

Cho ta có:

Vậy định lý được chứng minh.

CHƯƠNG 2

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN

. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

2.1.1. Phương trình hàm Cauchy

Phương trình hàm Caucay có một vài trò quan trọng trong mang toán học về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhở các phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy.

Định nghĩa : phương trình hàm Cauchy là phương trình hàm có dạng

mọi số thực x và y . Hàm f thỏa mãn phương trình

được gọi là hàm cộng tính

Định lý 2.1.1. Cho hàm thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

,

mọi số thực x và y . Khi đó tồn tại một số thực a sau cho

mọi số hữu tỉ q.

Tất cả những gì chúng ta cần làm là rút ra kết luận khi thay số hữu tỉ q bằng số thực x bất kỳ. Để làm được điều này nhanh chóng, bước cuối cùng chúng ta sử dụng giả thiết rằng f là một hàm liên tục. Chú ý Định lý 2.1.1 không cho giả thiết f là hàm liên tục. Kết quả sau đây là công cụ đầu tiên cho bước cuối cùng của chứng minh này.

Định lý 2.1.2. Giả rằng và là các hàm liên tục sao cho với mọi số hữu tỉ q. Khi đó với mọi số thực

Định lý 2.1.3. Cho là một hàm liên tục thỏa mãn phương trình hàm Cauchy.

Với mọi số thực x và y Khi đó tồn tại một số thực a sao cho:

2.1.2. Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy .

Định lý 2.1.4. Giả sử thỏa mãn phương trình hàm Cauchy

,

mọi số thực x, y và f là hàm đơn điệu tăng trên , nghĩa là

Khi đó

với

Định lý 2.1.5. Giả sử thỏa mãn đồng thời hai phương trình :

(1)

(2)

Với mọi số thực Khi đó

hoặc

2.2. Phương trình hàm Jensen.

Phương trình hàm Jensen là phương trình hàm có dạng

(2.2.1)

Và được xét như một phiên bản của phương trình hàm Cauchy dùng trung bình. Một lần nữa hàm f luôn được giả thiết là hàm liên tục. Để đơn giản, ta giả sử rằng miền xác định của hàm f là toàn bộ trục số thực.

Nghiệm của phương trình dễ dàng thu được qua kết quả của phần trước,

Đặt Khi đó:

(2.2.2)

Trong đó, g là hàm liên tục với g(0) = 0. Trong (2.2.2) cho y = 0 ta thu được:

. (2.2.3)

Vì (2.2.3) dùng với mọi x nên ta có thể thay cho , khi đó ta thu được

(2.2.4)

Thay điều này vào vế trái của (2.2.4) ta được

(2.2.5)

Ta thấy (2.2.5) là một phương trình hàm Cauchy. Và do đó

Với mọi số thực và a là hằng số. Đặt f(0) = b, ta thấy rằng nghiệm của phương trình ban đầu cho hàm f phải là

2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM PEXIDER VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Bài toán 2.3.1 (Phương trình hàm Pexider).[4] Tìm tất cả các hàm số f,g,h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

(2.3.1)

Giải. Cho y=0, ta có

Cho x=0, từ phương trình (2.3.1) ta có:

Phương trình (2.3.1) trở thành:

(2.3.2)

Đặt

(2.3.3)

Mà f(x)là hàm liên tục trên R nên cũng lên tục trên R.

Do đó, phương trình (2.3.3) là phương trình hàm Cauchy nên có nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là:

2.4. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VINCZE VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

Bài toán 2.4.1. (Phương trình hàm Vincze).[4] Xác định tất cả các hàm số f,g,h,k xác định và liên tục trên R sao cho:

(2.4.1)

2.5. PHƯƠNG TRÌNH HÀM EULER

Định nghĩa: Với k là số thực cho trước phương trình hàm:

Với mọi số dương , được gọi là phương trình hàm Euler

Hàm thỏa mãn phương trình hàm Euler, được gọi là hàm thuần nhất dương bậc k.

Ví dụ: Hàm là hàm thuần nhất dương bậc 1.

Hàm là hàm thuần nhất bậc 0.

Cách giải phương trình hàm Euler.

Đặt

Ta có:

Đặt

Ta có:

Với bất kỳ hàm g xácđịnh trên

Thì f là một hàm thuần nhất dương bậc k.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình Euler là:

với g là hàm xác định trên

2.6. PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT

Phương trình hàm D’Alembert là phương trình hàm có dạng

g(x+y) + g(x-y) = 2g(x)g(y), ∀x,y R.

Định lý 1: (Định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert).

Giả sử f:R🡪R, liên tục và thỏa mãn điều kiện:

Khi đó f là một trong các hàm sau:

Trong đó

Bây giờ ta xét một bài toán ứng dụng định lý nghiệm của phương trình hàm D’Alembert như sau:

Bài toán 2.6.1. Cho tìm các hàm f(x) liên tục trên R, và thỏa mãn điều kiện.

(2.6.1)

Lời giải:

Dễ kiểm tra thỏa mãn các yêu cầu bài toán.

Bây giờ ta xét .

Thay y bởi –y vào (2.6.1) ta được:

(2.6.2)Từ (2.6.1) và (2.6.2) ta suy ra:

Hay

Điều này chứng tỏ f(x) là hàm số chẵn.

Đổi vai trò của x và y trong (2.6.1) ta được:

(2.6.3)

Từ (2.6.1) và (2.6.3) ta có:

Suy ra:

. (2.6.4)

Cho y=-a, thay vào phương trình (2.6.4) ta được:

Điều này có nghĩa f(x) là hàm số tuần hoàn:

Thay x bởi x+a; y bởi y+a vào phương trình (2.6.1) ta được:

(2.6.5)

(Vì f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2a nên:

Đặt

Ta suy ra:

Từ tính liên tục của hàm f ta suy ra hàm g liên tục trên R . Vậy phương trình (2.6.6) là một phương trình hàm D’Alembert. Do đó, theo định lý về nghiệm của phương trình hàm D’Alembert ta suy ra g có thể là các hàm sau:

Trường hợp 1: Nếu , suy ra: hàm này không thỏa mãn (vì trái với gải thuyết

Trường hợp 2: Nếu , suy ra: hàm này thỏa mãn với điều kiện bài toán. Vậy là nghiệm

Trường hợp 3: Nếu ,

suy ra: hàm này không thỏa mãn (vì hàm không phải là hàm tuần hoàn.

Trường hợp 4: Nếu , suy ra:

Mà nên ta có:

Thay x bởi x+a ta suy ra:

Từ đó ta suy ra:

Suy ra:

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy nghiệm của bài toán là:

LIỆN HỆ:

SĐT+ZALO: 0935568275

F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN KY THUAT\LUAN VAN 2014\LUAN VAN TOAN SO CAP\SIHAVONG VILAYPHONE