PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
1. Tínhcấpthiếtcủađềtài
Giớihạnlàmộtchủđềcơ bản, cóvịtríđặcbiệt quan trọng trong ngành Giải tích Toánhọcnói chung và Giải tích Toánhọcphổthông nói riêng, không những như làmộtđốitượngnghiêncứutrọng tâmcủahàmsốmà còn là một côngcụđắclựccủaGiải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyếtxấpxỉ,lýthuyết biểu diễn,…ngoài rachủđềnày này có nhiềuứngdụngvềmặtlý thuyết cũng như thực tiễn. Trên cơsởnộidungcủachủđềnày, ta cóthểgiải quyết nhiềuvấnđềthuộc phạm viĐạisố,Hình học,Sốhọc,Vậtlý,…VìvậyGiới hạnởTHPT cóýnghĩa quan trọng. Tađãbiết, nóiđếnchủđềgiớihạnta nghĩngayđếncác phương pháp tìm giớihạnmàđốitượngchính là dãysốvà hàm số.Chúng tađãđượchọcmộtsốđịnhlý cơbảncủagiớihạndãysố,hàmsốlàm phương phápđểtính giớihạntrong chương trình toán THPT. Ngoài nhữngđịnh lý cơbảnta cóthểvậndụngmộtsốđịnhlý sauđểtìm giới hạn:địnhlý kẹp giữavềgiới hạn,địnhlý Lagrange,địnhlý Stolz, quytắcL’Hospital,địnhlýWeierstrass.Đểnắmchắcnộidung vàbảnchấtcủađịnhlýđồngthời chúng ta phải biếtvậndụng cácđịnhlý trong những trườnghợpcụthểnào và hiểu rõ hơn vềvai trò,ýnghĩacủagiớihạnthìđâychính là lý do tôi viếtđềtài:“ Phương pháp tính giớihạndãysố,hàmsốvà các dạng toán liên quan.” nhằm giúp chohọcsinhphổthông,đặcbiệt làhọcsinh giỏi biết cách áp dụng cácđịnhlýtrênđểtìm giớihạncủadãysố,hàmsố.Đồngthờihọcsinhnắmchắc vai trò vàýnghĩacủagiớihạnthông qua việc giải các dạng toán liên quanđếngiới hạn.
2.Mụctiêu nghiêncứu
– Giúp chohọcsinh hiểuđượcbảnchất vàýnghĩacủacácđịnhlý, khái niệm giớihạndãysố,hàmsố.
-Vậndụng cácđịnhlýđểtính giớihạndãysố,hàmsốtừđóđịnhhướngđượcphương pháp tìm giớihạndãysố,hàmsốcụthểtạohứng thú khi giải bài
2
tập.
-Vậndụng giớihạnđểgiải các bài toán liên quanđếngiải tích giúp các em thấy vai trò vàýnghĩacủagiới hạn.
– Rèn luyệnhọcsinhkỹnăng giải bài tập,khảnăng phát triển trítuệthông quahệthống bàitậptừmứcđộdễđếnkhó.
3.Đốitượngvà phạm vi nghiêncứu
– Cácđịnhlý cơbảncủagiới hạn,địnhlýkẹpgiữavềgiới hạn,địnhlýLagrange,địnhlý Stolz, quytắcL’Hospital,địnhlý Weierstassđểtính giới hạn dãysố,hàmsốvà các dạng toán giải tích liên quanđếngiới hạn.
-Họcsinh trunghọcphổthông,đặcbiệt làhọcsinh giỏi toán.
4. Phương pháp nghiêncứu
Nghiêncứusách giáo khoa, sách tham khảo, giáo trình,tạpchí, các tài liệu trong và ngoàinướccó liên quanđếngiớihạndãysố,hàmsố.
5.Bốcụccủađềtài
Luận văngồmphầnmởđầu,ba chương,kếtluận vàphụlục. Chương 1 Lý thuyếtvềgiớihạndãysố,hàmsố.
Chương 2 Phương pháp tính giớihạndãysố,hàm số. Chương 3 Các dạng toán liên quan.
6. Tổng quan tài liệu nghiêncứu
Luận vănđãtham khảomộtsốtài liệu khoahọctiếng Việt và tiếng Anhvềcác phương pháp tính giớihạndãysố,hàmsốvà các dạng toán liên quanđến giới hạn. Hiệntạitrong và ngoàinướcđãviết luận vănvềđềtài này.
Tuy nhiên các công trình khoahọcvẫnchưa tổnghợpđượcnhiều các phương pháp tính giớihạndãysốvà hàmsốtrong sơcấpvà trong thựctếhoặc có nhưngvẫncònhạnchế.
Vìvậyviệc nghiên cứu, tổnghợpcác phương pháp tính giớihạndãy số, hàmsốvà các dạng toán liên quanđếngiớihạnmộtcách rõ ràng,hệthống làcầnthiết.Kếtquảnghiêncứucủađềtàisẽgiúpngườihọctoándễdàng hơn trong việc áp dụng các phương phápđểtính giớihạndãysố,hàmsốphức tạp và áp dụng lí thuyếtvềgiớihạnđểgiảimộtsốdạng toán liên quan.
3
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT GIỚIHẠNDÃYSỐ,HÀMSỐ
1.1 CÁCH CHO DÃYSỐ
1.1.1Địnhnghĩa dãysố
Địnhnghĩa 1.1.1. Tagọiánhxạutừtậpsốtựnhiên N=1, 2, 3, …, n,… vào mộttậpsốthực R làmộtdãysố.
u: n→u(n) = un
Địnhnghĩa 1.1.2. Cho dãy {un}vớin∈N∗
Dãy {un}đượcgọilà dãy (đơnđiệu)tăngnếuun≤un+1,∀n∈N∗. Dãy {un}đượcgọilà dãy (đơnđiệu)giảmnếuun≥un+1,∀n∈N∗. Dãy {un}đượcgọilà dãy (đơnđiệu)tăng nghiêm ngặtnếuun < un+1,
∀n∈N∗.
Dãy {un}đượcgọilà dãy (đơnđiệu)giảm nghiêm ngặtnếuun > un+1,
∀n∈N∗.
Địnhnghĩa 1.1.3. Cho dãysố{xn}
Dãy {xn}đượcgọilàbịchặn trên,nếutồntạihằngsốM sao cho xn≤M,
∀n∈N∗.
Dãy {xn}đượcgọilàbịchặndưới,nếutồntạihằngsốM sao cho xn≥M,
∀n∈N∗.
Dãy {xn}vừabịchặn trên,vừabịchặndướiđượcgọilàbịchặn.
Địnhnghĩa 1.1.4. Dãy {xn}bịchặn khi vàchỉkhitồntạihằngsốc≥0 sao
cho |un|≤c,∀n∈N∗.
4
1.1.2 Cách cho dãysố
+) Dãysốchobởicông thứcsốhạng tổng quát +) Dãysốchobởicông thức truyhồi
+) Dãysốcho bằng phương pháp môtả+) Dãysốxácđịnhbởiphương trình
1.2 CÁCH CHO HÀMSỐ
1.2.1.Địnhnghĩa hàmsố
ChotậpX⊂R. Tagọimộtánhxạf đitừtậpX vàotậpsốthực R là một hàmsố.
Kí hiệu.
f :X→Y
x→y = f (x)
1.2.2. Cách cho hàmsố
Cóthểcho hàmsốbằng biểu thức : y = f(x)đượcdùng nhiều trong toán học.
Vídụ1.2.1.
1.3 PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦADÃYSỐ
1.3.1.Cấpsốcộng,cấpsốnhân
1.3.1.1.Cấpsốcộng
Địnhnghĩa 1.3.1. Dãysố{un}có tính chất un = un−1+d ,∀n≥2 , d làsốthực khôngđổigọilàcấpsốcộng.
5
d: công saicấpsốcộng, u1 làsốhạngđầu,un làsốhạng tổng quátthứn. Sốhạng tổng quát là: un =u1+(n−1)d,∀n≥2.
GọiSn là tổng nsốhạngđầucủacấpsốcộng có công sai d. Ta có
n
Sn =
2
1.3.1.2.Cấpsốnhân
[2u1+(n−1)d]
Địnhnghĩa 1.3.2. Dãysố{un}có tính chất un+1 = q.un,∀n∈N∗gọilàcấp
sốnhânbộiq.
Sốhạng tổng quátcủa{un}có côngbộiq là un = u1.qn−1.
GọiSn là tổng nsốhạngđầucủacấpsốnhân {un} côngbộiq. Ta có
Sn = u11−1−qqn
Lưu ý:
vớiq= 1.
i)Cấpsốnhân lùi vôhạnlàcấpsốnhân vôhạncó côngbộiq thỏa mãn |q| < 1.
ii) Công thức tính tổng Scủacấpsốnhân lùi vôhạnlà
S= u1+u2+… +un+… =1−u1q.
1.3.2. Hàmlặp
Đểtìm công thức tổng quátcủadãysốbằng phương pháp hàmlặpta thường tìm các hàmsốf (x) và h(x) sao cho: f (xn) = h( f (xn−1)). (*)
Áp dụng (*) liên tiếp tađược:
f (xn) = h( f (xn−1)) = h(h( f (xn−2))) = h2( f (xn−2)) = … = hn( f (x0)).
Từđóta tìmđượccông thức tổng quátcủadãysố.
Hàm fđượcgọilà hàmsốphụ, hàm hđượcgọilà hàm lặp.
u1 = x0
Dạng 1. Dãysố{un} xácđịnhbởi:
, trong
un = aun−1+ f (n),∀n≥2
đóf(n) là đa thứcbậck theo n.
Phương pháp. Phân tích f (n) = g(n)−ag(n−1) (1)vớig(n) cũng là đa thức
theo n. Khiđóta có : un−g(n) = a[un−1−g(n−1)] = … = an−1[u1−g(1)]. Vậyta có un = [u1−g(1)]an−1+g(n).
6
Vấnđềcònlạilà ta xácđịnhg(n) nhưthếnào?
Ta thấy:Nếua=1 thì g(n)−ag(n−1)làmộtđa thức cóbậcnhỏhơnbậccủa g(n)mộtbậcvà khôngphụthuộc vàohệsốtựdocủag(n), mà f(n) là đa thức bậck nênđểcó (1) ta chọn g(n) là đa thức cóbậck+1 cóhệsốtựdo bằng không và khiđóđểxácđịnhg(n) thì trongđẳngthức (1) ta cho k+1 giátrịcủanbấtkìtađượchệk+1 phương trình, giảihệnày ta tìmđượccáchệsốcủag(n).
Nếua = 1thì g(n)-ag(n-1) làmộtđa thức cùngbậcvớif(n) nên ta chọn g(n) là đa thứcbậck và trongđẳngthức (1) ta cho k+1 giátrịcủan thì ta xácđịnhđượcg(n).
u1 = x0
Dạng 2. Dãysố{un}xácđịnhbởi:
, ta làm
un = aun−1+b(α)n,∀n≥2
như sau:
Nếua =α⇒un = b(n−1)(α)n +u1(α)n−1.
Nếua =αta phân tích (α)n = k(α)n−ak(α)n−1. Khiđóun = an−1(u1−bk)+bk(α)n.
Ta tìmđược:k =αα−a.
Dạng 3. Dãysố{un}xácđịnhbởi:
u1 = p
un = aun−1+b(α)n + f (n),∀n≥2
,
trongđóf(n) là đa thức theo nbậck, ta phân tích (α)n và f(n) như cách phân
tíchởtrên.
u1 = q
Dạng 4. Dãysố{un} xácđịnhbởi:
, trongđó
un+1 = g(un),∀n≥1
g(un) là hằngđẳngthức đáng nhớ.
u1 =α
Dạng 5. Dãysố{un} xácđịnhbởi:
un =
pr..uun−1++sq,∀n≥2
n−1
Đểtìm công thức tổng quát ta làm như sau:
Đặtun = xn +t. Khiđó:
xn = pxru
n−1+pt+q
n−1+rt+s−t =
(p−rt)xn−1−rt2+(p−s)t+q
rxn−1+rt+s .
Ta chọn t sao cho: rt2 +(s−p)t−q = 0. Khiđóchuyểndữkiệnvềdạng
x1n = axn1−1
+b.
Đếnđâytachỉviệc chuyểnđổivềCSN hoặcsửdụng hàmlặpđềuđược.
7
1.3.3. Phương trình sai phân
1.3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tínhcấp1
Địnhnghĩa 1.3.3. Phương trình sai phân tuyến tínhcấp1 có dạng:
axn+1+bxn = fn,n∈N∗trongđóa,b =0. (1.1)
Nghiệm tổng quátcủaphương trình (1.1) là: xn =xn∗+xn.
1.3.3.2. Phương trình sai phân tuyến tínhcấpk Phương pháp giải
A/ Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất 1/ Giải phương trìnhđặctrưng
x0λk +x1λk−1+… +xk−1λ+xk =0 (1.2)đểtìmλ.
2/ Tìm nghiệm tổng quátcủaphương trình thuần nhất tương ứng.
B/ Tìm nghiệm riêngcủaphương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất: Việc tìm nghiệm riêngcủaphương trình sai phân tuyến tính không thuần nhấtcấpk làm tươngtựkhi tìm nghiệm riêngcủaphương trình sai phân tuyến tínhcấp1 và 2.
C/ Tìm nghiệm tổng quátcủaphương trình sai phân tuyến tínhcấpk:
Nghiệm tổng quát có dạng xn =xn +xn∗
Trongđóxn là nghiệmcủaphương trình thuần nhất tương ứng, xn∗
riêngcủaphương trình không thuần nhất.
là nghiệm
1.3.4.Lượnggiác hóa
Dạng 1. Tìm công thức tổng quátcủadãysố{un}có dạng :
u1 =m,m∈R
un =2u2n−1−1,∀n≥2
ta làm như sau:
+Nếu|m|≤1, tađặtu1 =cosα. Khiđóta có un =cos2n−1α.
+Nếum > 1 tađặtu1 = 12(a+ 1a) trongđóa = 0 và cùngdấuvớiu1.
Khiđóu2 = 12(a2+2+ a12)−1= 12(a2+ a12)⇒u3 = 12(a4+ a14)…
8
Ta chứng minhđượcun = 12 a2n−1+a
2n1−1 ,∀n≥1.
Trongđóa là nghiệm cùngdấuvớiu1củaphương trình: a2−2u1a+1=0.
Vì phương trình này có hai nghiệm có tích bằng 1 nên ta cóthểviết công thức tổng quátcủadãy như sau:
n−1
un = 12 (u1− u21−1)2 +(u1+ u21
−1)2n−1
.
Dạng 2. Tìm công thức tổng quátcủadãy {un}có dạng
u1 = p, p∈R
un = u3n−1−3un−1,∀n≥2
ta làm như sau:
+Nếu|p|≤1⇒∃α∈[0;π] : cosα= p.
Khiđóbằng quynạpta chứng minhđược: un = cos3n−1α. +Nếu|p|> 1, tađặtu1 = 12(a+ 1a)vớia cùngdấuvớiu1
Bằng quynạpta chứng minhđược
un = 12 a3n−1+ a
3n1−1 .
3n−1
Hay un = 12 u1− u21−1
+ u1 + u21−1
3n−1
.
Từtrườnghợpthứhaicủabài toán trên ta cóthểtìm công thức tổng quát
củadãysố:un :u1 = p bằng cáchđặtu1 = 12(a−1a).
un = u3n−1+3un−1,∀n≥2
Khiđóbằng quynạpta chứng minhđược
un = 12 a3n−1−a
3n1−1 .
3n−1
Hay un = 12 u1− u21 +1
+ u1 + u21 +1
3n−1
.
Dạng 3.Đểtìm công thức tổng quátcủadãysốcó dạng
u1 = a
tađặt:
un =1−un−1bu+n−1b
,∀n≥2
a = tanα,b = tanβ, khiđóta chứng minhđượcun = tan[α+(n−1)β]. Chú ý:Nếuun cóthểđưavềcông thứclượnggiác quen thuộc và u1 là giá
trịlượnggiácđặtbiệt thì ta dùng phépthếlượnggiácđểtìm công thức tổng quátcủa{un}.
F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN KY THUAT\LUAN VAN 2014\LUAN VAN TOAN SO CAP\NGUYEN MAI VI
