NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC
1. Tínhcấpthiếtcủađềtài:
Bộmôn phương trìnhđạohàm riêng làmộtbộmôn toán học cơbảnvừamang tính lý thuyếtvừamang tínhứngdụng. Ngành toánhọcnàyđãtham gia xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toánhọcvà khoahọckhác. Nó góp phần nâng cao tínhđầyđủvàhiệuquảcủanhiều ngành nhưtốiưu,điềukhiểntốiưu, trò chơi vi phân, tính toán khoa học…
Các quy luậtcủavậtlý thườngđượcmôtảbởicác phương trìnhđạohàm riêng. Tuy nhiên, việc tìm nghiệmcổđiểncủacác phương trìnhđạohàm riêng thườngrấtkhó và cóthểkhông tồn tại. Dođó,ngườitađưaramộtkhái niệmmớiđểtìm nghiệmcổđiểncủaphương trìnhđạohàm riêng bằng cách tìm nghiệm yếu củaphương trình này trong không gian Sobolev. Xuất pháttừnhu cầuthựctếđóvàvớimong muốncủabảnthân muốn tìm hiểu khái niệm này, tácgiảchọnđềtài nghiêncứuvềviệc khảo sát tìm nghiệmyếucủabài toán parabolic trong không gian Sobolev.
2.Mụctiêu nghiêncứu:
Giới thiệu không gian các hàm liên tục, các hàmkhảvi liên tụcvà không gian các hàmkhảtích, nêuđịnhnghĩađạohàm suy rộng vàsựtồntạicủanó.Từđó,giới thiệu lý thuyết không gian Sobolev,mộtkhông gian hàm có nhiềuứngdụng trong toán học tính toán.
Trình bàyhệthống lý thuyếtvềnghiệmyếutrong không gian
2
Sobolevcủabài toán parabolic. Nghiêncứuvềsựtồntạiduy nhất nghiệmyếucủabài toánhỗnhợpvà tính trơncủanghiệm yếutrong các bài toán này.Từđó,nêu lênđiềukiệnvềcácdữkiệncủabài toánđểnghiệmyếulà nghiệmcổđiển.
3.Đốitượngvà phạm vi nghiên cứu:
– Không gian Sobolev.
– Nghiệmyếucủabài toán parabolic.
4. Phương pháp nghiên cứu:
– Thu thập tài liệu,đọcvà hiểuđểtrình bàymộtcách cóhệthống lý thuyết.
-Tham gia nhiều buổi thảo luậnvớithầyhướngdẫnđểhiểu rõ hơnvềnộidungđềtài nghiên cứu.
5.Bốcụcđềtài:
Nộidung nghiêncứucủađềtàiđượcchia thành 2 chương:
Chương 1 giới thiệuvềkhông gian các hàm liên tục, các hàm khảvi liêntụcvà không gian các hàmkhảtích. Nêuđịnhnghĩađạohàm suy rộng vàsựtồntạicủanó.Từđó,giới thiệu lý thuyết không gian Sobolev,mộtkhông gian thườnggặptronghầuhết các ngành khoa học. Những kiến thứcởchương này lànềntảngđểtiếpcậnnộidungởchương 2 tiếp theo.
Chương 2 lànộidung trọng tâmcủađềtài này. Trong đó, luận vănđãđềcậpđếnlý thuyếtvềnghiệmyếutrong không gian Sobolev cho bài toán parabolic.
3
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu:
Luận vănđãtham khảomộtsốtài liệu khoahọctiếng Việt và tiếng Anhvềphương trìnhđạohàm riêng. Hiệntạitrong vàngoàinướcđãcó các công trình nghiêncứuvềphương trìnhđạo hàm riêng vàứngdụngcủanó
Tuy nhiên các công trình khoahọcvềphương trìnhđạohàm riêng bằng tiếng Việt chưa nhiều, nhất là bài toán parabolic.
Vìvậyviệc trình bày phương trìnhđạohàm riêngmộtcách cơbản, rõ ràng vàhệthống làcầnthiết. Hi vọngvớiluận văn nàysẽgiúpngườihọctoán có thêm tài liệu tham khảovềphương trìnhđạohàm riêng,đặcbiệt là bài toán parabolic.
4 CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN SOBOLEV
1.1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC VÀ HÀM KHẢVI LIÊNTỤC
1.1.1. Không gianđịnhchuẩn C(Q) và Ck(Q)
Cho Qlàmộtmiềnbịchặn trong không gian Rn. XéttậpC(Q) gồmcác hàm liêntụctrong Q. Tađểýtậpnày làmộtkhông gian
tuyến tính. Cóthểkiểm tra trực tiếp hàm max
x∈Q
|f(x)| xácđịnh
trên C(Q) thỏa mãntấtcảcác tiênđềđểtrởthànhmộtchuẩn:
max
x∈Q
|cf(x)| = |c|. max
x∈Q
|f(x)|
và
max
x∈Q
hơnnữa
|f1(x) + f2(x)| max
x∈Q
|f1(x)| + max
x∈Q
|f2(x)|;
max
x∈Q
|f(x)| 0 và max
x∈Q
|f(x)| = 0⇔f(x)≡0.
Vì vậy, trong C(Q), ta cóthểđưara chuẩn
f C(Q) = max
x∈Q
|f(x)|. (1.1)
Sựhộitụtheo chuẩn (1.1) trùngvớihộitụđềutrong Q.
Không gian C(Q)vớichuẩn (1.1) là không gian Banach, vìtheo tiêu chuẩn Cauchy,mộtdãy hàm cơbảnbấtkì trong C(Q) vớichuẩn (1.1)hộitụđềuvềmộthàm thuộc C(Q).
5
Trong C(Q), ta xéttập
◦
C(Q) chứatấtcảcác hàm mà nó triệt
tiêu trên biên∂QcủaQ. Rõ ràng,
◦
C(Q) làmộtkhông gian con
tuyến tínhcủaC(Q). Không gian này đóng (với chuẩn (1.1)) vì
giớihạncủamộtdãy các hàm trong
◦
C(Q)hộitụđềutrong Q là
mộthàm thuộc
◦
C(Q), dođó,
◦
C(Q) làmộtkhông gian concủa
không gian C(Q).
Trong C(Q), ta xéttậpcon Ck(Q), k = 1, 2, …gồmcác hàm màtấtcảcácđạohàmđếncấpkcủachúng liêntụctrong Q. Tập Ck(Q) làmộtkhông gian tuyến tính. Hơn nữa, trong Ck(Q) ta cóthểđưara chuẩn
f Ck(Q) = max
|Dαf(x)|. (1.2)
|α| k
x∈Q
Sựhộitụtheo chuẩn trên làhộitụđềutrong không gian Q của các hàm và cácđạohàmđếncấpkcủachúng. Ta có, Ck(Q) làkhông gian Banachvớichuẩn (1.2).
1.1.2. Công thức tích phân từng phần Ostrogradsky
Giảsửtrong miền Q (biên∂Q ∈ C1) xácđịnhđượcmột hàm vectơ A(x) = (A1(x), …, An(x)) mà các thành phần Ai(x)∈
C(Q)∩C1(Q), i = 1, …, n.Nếuhàm divA(x)≡∂A∂x11 +···+∂A∂xnn
liêntụctrên Q hoặc thậm chí nókhảtích trên toàn miền Q thì
ta có công thức sau (công thức Ostrogradsky):
divA(x) dx = A(x) n(x) dS (1.3)
Q ∂Q
vớin là vectơđơnvịvuông gócvớibiên∂Qvàhướngra bên ngoài Q.
6
1.2. KHÔNG GIAN CÁC HÀMKHẢTÍCH 1.2.1. Không gian L1(Q) và L2(Q)
Xéttậpcác hàm giátrịphứckhảtích trên Q. Rõ ràngđây
là không gian tuyến tính và phiếm hàm |f(x)|dx thỏa mãntất
Q
cảcác tiênđềcủamộtchuẩn. Không gian tuyến tính nàyđượckíhiệu là L1(Q) và:
f L1(Q) = |f(x)|dx. (1.7)
Q
Tậpcác hàm giátrịphức đođượcmà bình phương modun của nókhảtích trên Qđượckí hiệu là L2(Q).Vớimỗicặphàm f1, f2 ta cóthểkếthợpchúng thànhmộtđạilượng:
(f1, f2)L2(Q) = f1(x)f2(x)dx. (1.8)
Q
Công thức (1.8) xácđịnhmộttích vôhướngtrên L2(Q). Chuẩnđượcsinhbởitích vôhướngnày có dạng:
f L2(Q) =
Q
|f(x)|2dx
1
2
. (1.9)
Vì |f| = |f|.1 12 (|f|2 +1) nên ta thấy rằng miền Qbịchặn, hàm
f(x)∈L2(Q) cũng thuộc L1(Q).Điềunày có nghĩa là L2(Q)⊂L1(Q)đốivớimiềnbịchặn. Trong trườnghợpnày rõ ràng làC(Q)⊂L2(Q)⊂L1(Q).
Định lý 1.2.1. L1(Q) là không gian Banachvớichuẩn (1.7). L2(Q) là không gian Banachvớichuẩn (1.9)đượcsinhbởitích vôhướng(1.8).
7
1.2.2. Tính trùmậtcủatậpC(Q) trong L1(Q) và L2(Q). SựkhảlycủaL1(Q) và L2(Q)
Địnhlý 1.2.2.Tậpcác hàm liêntụctrong Q trùmậtkhắp nơi trong L1(Q) và L2(Q).
Địnhlý 1.2.3. L1(Q) và L2(Q) là các không giankhảly. 1.3.ĐẠOHÀM SUY RỘNG
1.3.1.Địnhnghĩađạohàm suy rộng
Địnhnghĩa 1.3.1. Choα= (α1, …,αn) là đachỉsốvớicác thành phần nguyên không âm, |α| =α1 +… +αn. Hàm fα(x)∈L2(Q)đượcgọilàđạohàm suy rộngcấpαcủahàm f(x)∈L2(Q) trong Qnếu
f(x) Dαg(x) dx = (−1)|α| fα(x) g(x) dx (1.13)
Q Q
vớibấtkì g(x)∈C˙|α|(Q).
Đạohàm suy rộngcủahàm f(x) có những tính chất sau:
(i) Hàm f(x) có không quámộtđạohàm suy rộng fα(x).
(ii) Vìđốivớihàm trơn g(x)đạohàm ∂xα∂1|α|…∂gxαn
khôngphụ
1 n
thuộc vàothứtựcủaphéplấyvi phân nêntừtính duy nhấtcủa
đạohàm suy rộng và công thức (1.13) ta suy rađạohàm suy rộng cũng khôngphụthuộc vàothứtựcủaphéplấyđạohàm.
(iii)Từđịnhnghĩađạohàm suy rộng cũng suy ra rằngnếuhàm
fi(x), i = 1, 2 cóđạohàm suy rộng Dαfi thì hàm c1f1 + c2f2, vớici hằngsố,cũng cóđạohàm suy rộng Dα(c1f1 + c2f2) = c1Dαf1 + c2Dαf2.
8
Vídụ1.3.1. Hàm f(x) = |x1| cóđạohàm suy rộng fx1 = signx1 và fxi = 0, i = 2, …, n trongquảcầuQ = {|x| < 1}.
Chúýrằng hàm |x1| không cóđạohàmcổđiểnđốivớix1 trong Q (tức làđạohàm khôngtồntạikhi x1 = 0).
Vídụ1.3.2. TrongquảcầuQ = {|x| < 1}, hàm f(x) = signx1 cóđạohàm suy rộngcấpmộtfxi = 0, i = 2, …, n nhưng không cóđạohàm suy rộng fx1.
Vídụ1.3.3. TrongquảcầuQ = {|x| < 1}, xét hàm f(x) =ϕ(x1) +ϕ(x2)vớiϕ(xi) = signxi, i = 1, 2.Từkếtquảcủavídụ1.3.2 cho ta f(x) không cóđạohàm suy rộng fx1 và fx2. Tuy nhiên,đạohàm suy rộng fx1x2 tồntạivà bằng 0.
1.3.2.Sựtồntạiđạohàm suy rộng
Địnhlý 1.3.1.Điềukiệncầnvàđủđểtồntạiđạohàm suy rộng
Dαfcủahàm f∈L2(Q) làđốivớibấtkì miền con Q Q tồn tạihằngsốC(Q ) và h0(Q ) thỏa Dαfh L2(Q ) C(Q )vớimọi
h < h0(Q ).
Hệquả1.3.1.Nếutấtcảđạohàm suy rộngcấpmộtcủaf bằng 0 thì f là hàm hằng.
Địnhlý 1.3.2.Nếumộthàm f cóđạohàm suy rộng Dαf trên miền Q1 và Q2 vànếuQ1∪Q2 = Q cũng là miền thìđạohàm suy rộng Dαftồntạitrên Q.
1.4. KHÔNG GIAN SOBOLEV
1.4.1. Không gian Hilbert Hk(Q)
Địnhnghĩa 1.4.1. Kí hiệu Hk(Q) làtậpcác hàm thuộc L2(Q) và cótấtcảđạohàm suy rộngđếncấpk, k 0. Khi k = 0, ta kí
hiệu H0(Q) = L2(Q).
9
Mệnhđề1.4.1. Không gian Hk(Q) làmộtkhông gian Hilbert vớitích vôhướng
(f, g)Hk(Q) = Dαf Dαg dx. (1.16)
|α| kQ
Dođó,không gian Hk(Q) là không gian Banachvớichuẩn
f Hk(Q) = |Dαf|2dx (1.17)
|α| kQ
đượcsinhbởitích vôhướng(1.16).
1.4.2.Mộtsốtính chấtcủakhông gian Hk(Q). Thác triển hàm
1)Nếumiền Q ⊂Q và f∈Hk(Q) thì f∈Hk(Q ).
2)Nếuf∈Hk(Q) và a(x)∈Ck(Q) thì af∈Hk(Q). Trong trườnghợpnày,đạohàm suy rộng Dα(af), |α| kđượctính theo quitắclấyvi phân thông thườngđốivớitíchcủacác hàmsố.Nói riêng, (af)xi = axif + afxi, i = 1, …, n.
3)Nếuf∈Hk(Q) và có giá compact trong Q thìmộthàm bằng f trong Q và bằng 0 bên ngoài Q thuộc vào Hk(Q )vớiQ bấtkì, Q ⊃Q.
Địnhnghĩa 1.4.2.(Địnhnghĩavềthác triển hàm)
Cho hàm f(x) xácđịnhtrên miền Q và miền Q chứa Q. Một hàm F (x)đượcgọilà thác triểncủaf(x) lên Q nếuF (x) xácđịnhtrên Q và trùngvớif(x) trong Q .
Địnhlý 1.4.1. Cho Q và Q là các miềnbịchặn, Q Q , và∂Q∈Ck. Khiđó,bấtkì hàm f(x)∈Hk(Q) (hoặc Ck(Q)) luôn
NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC
F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN KY THUAT\LUAN VAN 2014\LUAN VAN TOAN SO CAP\ANH MINH
