KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN DẠNG ELIPTIC
1. Tínhcấpthiếtcủađềtài:
Bộmôn phương trìnhđạohàm riêng làmộtbộmôn toán học cơbảnvừamang tính lý thuyết caovừamang tínhứngdụng rộng rãi. Lý thuyết phương trìnhđạohàm riêng khôngchỉgóp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành Toánhọcmà nó còn thúcđẩysựphát triểncủanhiều ngành khoahọckhác. Trong thực tế, việc khảo sát các quy trìnhđộngtrongtựnhiên cũng như trong xãhộithườngdẫnđếnviệc giảimộtlớpcác bài toán có liên quanđếnphương trìnhđạohàm riêng. Tuy nhiên, trong không gian các hàmsốliêntụcvớiđạohàm theo nghĩa thông thường thì việc tìm nghiệmcủamộtsốphương trìnhđạohàm riênglạirấtphức tạp và cóthểkhôngtồntại.Đểtìmđượcnghiệmcổđiểncủaphương trình,trướchết,ngườita phải tìm nghiệmyếucủaphương trình theomộtnghĩa nàođórồithiếtlậpmộtsốđiềukiện trơncủadữkiệnđểnghiệmyếutrởthành nghiệmcổđiểncủaphương trình banđầu.
Toánhọchiệnđạiđãxây dựng thành công không gian Sobolevđểthaythếcho các không gian hàmkhảvi theo nghĩacổđiển, cho phép chúng ta tiếpcậnvớicách giải quyếtmớivềvấnđềtìm nghiệmcủaphương trìnhđạohàm riêng. Việc nghiêncứukhông gian Sobolev đóngmộtvai trò vô cùng quan trọng trong lý thuyết phương trìnhđạohàm riêng.Vậymà chođếnnay, các tài liệu bằng tiếng Việt nghiêncứuvềkhông gian Sobolev hãy còn quá ít. Xuất pháttừnhucầuthực tiễn cũng như mong muốnđượclàm quenvớiToánhọchiệnđại,tácgiảchọnnộidungđềtài nghiên
2
cứucủamìnhvềkhông gian Sobolev và nghiệmyếutrong các bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic.
2.Mụctiêu nghiên cứu:
– Xây dựng khái niệmđạohàm suy rộngtừđóhình thành khái niệm không gian Sobolevđồngthời nêu lên những tính chất cơbảnkhông gian này.
– Thiếtlậpđiềukiệntồntạicủanghiệmyếutrong các bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic trong không gian Sobolev vàmộtsốđiềukiện làm trơn nghiệmyếuđểnótrởthành nghiệm cổđiểncủabài toán.
3.Đốitượngvà phạm vi nghiên cứu:
-Địnhnghĩa và các tính chấtcủađạohàm suy rộng.
-Địnhnghĩa và các tính chấtcủakhông gian Sobolev.
-Sựtồntạivà tính trơncủanghiệmyếutrong các bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic.
4. Phương pháp nghiên cứu:
– Phân tích, tổnghợpcác tài liệuđểtìm hiểu nhữngvấnđềliên quanđếnđềtài.
-Hệthống hóa lý thuyếtđãthu thập. – Thảo luận, traođổi.
5.Bốcụcđềtài:
Nộidungcủaluận vănđượcsắpxếpvà trình bàymộtcách cóhệthống các lý thuyết liên quan:
3
– Chương 1hệthống hóamộtsốkiến thức cơbảncủagiải tích hàm. Trong phạm vicủaluận văn này, tácgiảchỉtrình bày một cáchvắntắtcácđịnhnghĩa, tính chất có liên quanđếnkhông gian Banach, không gian Hilbert và các toántửtuyến tínhđểchuẩn bịcho việc hình thành những kiến thức quan trọngởchương tiếp theo.
– Chương 2 giới thiệuvềkhông gian các hàm liêntụcvàkhảvi liên tục, không gian các hàmkhảtích. Chương này cũngđãtrình bày khái niệmđạohàm suy rộng, trên cơsởđóxây dựngđịnh nghĩa và các tính chấtcủakhông gian Sobolev.
– Chương 3đềcậpđếnnghiệmyếutrong các bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic trong không gian Sobolevđồng thời nêu lên cácđịnhlý thiếtlậptính trơn nghiệm yếu.
6. Tổng quanvềđềtài:
Phương trìnhđạohàm riêng rađờivào khoảngthếkỉthứXVII trướcnhucầucủacơhọcvàcủanhiều ngành khoahọckhác. Nócàng ngày càng có vai trò quan trọng vàđượcứngdụng rộng rãi trong khoahọcvà công nghệ. Vào khoảngđầuthếkỉXX, người ta nhận thấy rằng không gian các hàmkhảvi theo nghĩacổđiển không còn thíchhợpcho việc nghiêncứucác phương trìnhđạo hàm riêngnữabởivì trong thựctế,các hàm và cácđạohàm của chúng cóthểkhông liên tục. Việc nàyđòihỏingườita phảimởrộnglớpcác hàm mà khái niệmđạohàmcủachúngđượchiểu theomộtnghĩayếunàođó.Chínhđiềunàyđãthúcđẩysựrađờicủakhông gian Sobolev,mộtkhông gianđượcgiới thiệu bởi nhà ToánhọcSobolev S.L vào giữathếkỉXX và không gian này nhanh chóngtrởthànhmộtcôngcụđắclựccủaviệc giải phương
4
trìnhđạohàm riêng.
Trướcsựphát triển mạnhmẽcủakhoahọccông nghệ, trong tương lai, lý thuyết phương trìnhđạohàm riêng nói chung vàkhông gian Sobolev nói riêngsẽngày càng phát triển hơn nữa. Mặcdù trênthếgiớiđãcó nhiều nhà Toánhọcnghiêncứuvềkhông gian này nhưngởViệt Nam, các tài liệu tham khảo không nhiều vàchỉtậptrung đi sâu vào phân tích lý thuyết làchủyếu, còn việc áp dụng vào giảimộtsốphương trìnhđạohàm riêng thìítđượcđềcậphơn. Luận văndựatrên các công trình nghiên cứu bằng tiếng Anhđãtrình bàymộtcáchhệthốngvềlý thuyết không gian Sobolev vàứngdụng vào việc tìm nghiệmyếutrong các bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic.Dẫurằng trênthếgiới nhiều nhà Toánhọcđãnghiêncứuvềvấnđềtìm nghiệm yếu củacác bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic tổng quát songvấnđềlàm trơn nghiệmyếunày trên toàn miền Q chođến nayvẫnđang còn là bài toán khó.
Việc nghiêncứukhông gian Sobolev và áp dụng vào việc tìm nghiệmyếucủacác bài toán giátrịbiênđốivớiphương trình eliptic trong cuốn luận văn này làcầnthiếtbởivì nó cung cấp thêm những kiến thức cơbảnvà cái nhìn tổng quanvềphương trìnhđạohàm riêngcủaToánhọchiệnđại.
5
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨNBỊ
1.1. KHÔNGGIANBANACHVÀ KHÔNGGIANHILBERT
1.1.1. Không gian tuyến tính
1.1.2. Không gian tuyến tínhđịnhchuẩn 1.1.3. Không gian Banach
1.1.4. Không gian Hilbert
1.1.5. Dạng song tuyếntínhHermitianvà tích vô hướng tươngđương
1.1.6. Tính trực giao.Hệtrực chuẩn
1.1.7. Chuỗi Fourierđốivớihệtrực chuẩn tùyý1.1.8. Cơsởtrực chuẩn
1.2. TOÁNTỬTUYẾN TÍNH
1.2.1. Toántửvà phiếm hàm.Địnhlý Riesz
Địnhlý 1.2.1.(Địnhlý F.Riesz)Vớimỗiphiếm hàm tuyến tínhbịchặn l trên không gian Hilbert H luôntồntạiduy nhất một phầntửh∈H sao cho:
l(v) = (v, h) (1.9)
vớimọiv∈H và h = l H.
6
1.2.2. Toántửliênhợp
1.2.3. Toántửtựliên hợp. Toántửcủaphép chiếu trực giao
1.2.4. Toántửhoàn toàn liên tục.Địnhlý FredholmĐịnhlý 1.2.5.Địnhlý Fredholmthứnhất:
Cho A làmộttoántửtuyến tính hoàn toàn liêntụctừH vào H. Xét hai phương trình sau:
(I−A)f = g (1.15) (I−A∗)f∗= g∗ (1.16)
vớiA∗ là toántửliênhợpcủaA.Nếumộttrong hai phương trình (1.15) và (1.16) cómộtnghiệmđốivớibấtkỳhạngtửtựdo nào thì phương trình cònlạicũng có nghiệmđốivớibấtkỳhạngtửtựdo và các nghiệm này duy nhất.
Nếumộttrong các phương trình thuần nhất (1.15) (với g = 0) và (1.16) (với g∗= 0)chỉcó nghiệmtầmthường thì phương trình cònlạicũng có nghiệmtầmthường. Các phương trình (1.15) và(1.16)đềugiảiđượcmộtcách duy nhấtvớibấtkỳhạngtửtựdo, nghĩa là toántử(I−A)−1 và (I−A∗)−1 tồntại,đượcxácđịnh trên H và các toántửnàyđềubịchặn.
Địnhlý 1.2.7.Địnhlý Fredholmthứba:
Điềukiệncầnvàđủđểphương trình (1.15)vớitoántửhoàn toàn liêntụcAtừH vào H có nghiệm là phầntửg phải trực giao vớitấtcảcác nghiệmcủaphương trình thuần nhất (1.16).
Trongtấtcảcác nghiệmcủaphương trình (1.15) thì có duy nhấtmộtnghiệm f trực giaovớitấtcảcác nghiệmcủaphương trình thuần nhất (1.15).Bấtkỳnghiệm kháccủaphương trình
F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN KY THUAT\LUAN VAN 2014\LUAN VAN TOAN SO CAP\HONG ANH
