Phương trình vô định nghiệm nguyên và ứng dụng
Phương trình vô định (còn gọi là phương trình Diophantus) nói chung và phương trình vô định nghiệm nguyên nói riêng có một vai trò quan trọng không những trong đại số mà cả trong toán học và thực tế, bởi vậy đã được các nhà toán học trên thế giới nghiên cứu từ rất lâu. Phương trình vô định là phương trình đại số với hệ số nguyên và số ẩn thường nhiều hơn số phương trình, nghiệm của nó được tìm trong một tập hợp số nào đó như: số nguyên, số nguyên dương, số hữu tỉ,… Nhiều phương trình vô định phát biểu rất đơn giản nhưng đến nay cũng chưa có cách giải hữu hiệu.
Ngay từ thời thượng cổ, các nhà toán học đã quan tâm giải những phương trình vô định. Chẳng hạn, từ thế kỷ thứ XVII trước công nguyên, các nhà toán học Ba-bi-lon đã biết giải phương trình x2 + y2 = z2 (phương trình Pythagore) trong phạm vi số nguyên. Người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống phương trình vô định là nhà toán học Hy Lạp Diophantus, sống ở thế kỷ thứ III trước công nguyên. Diophantus đã biết cách giải một số dạng phương trình vô định trong phạm vi các số hữu tỷ dương.
Nhằm tìm hiểu phương trình vô định và những ứng dụng của nó trong chương trình toán bậc phổ thông, tôi chọn đề tài: “Phương trình vô định nghiệm nguyên và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu
– Khảo sát, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vô định.
– Tìm hiểu cách giải phương trình vô định.
– Ứng dụng phương trình vô định để giải một số lớp bài toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
– Phương trình vô định nghiệm nguyên bậc nhất.
– Phương trình vô định nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn.
– Một số bài toán dân gian.
– Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn, đặt biệt là các bài toán dân gian giải được bằng phương tình vô định.
– Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
– Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của chuyên gia và của các đồng nghiệp.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn dự được chia thành bốn chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Để làm cơ sở cho các chương sau, phần đầu chương này trình bày một số tính chất số học trên tập các số nguyên, cụ thể là quan hệ chia hết, quan hệ đồng dư trên tập các số nguyên. Phần tiếp theo giới thiệu khái niệm liên phân số và phần cuối của chương trình bày một số khái niệm liên quan đến dạng toàn phương của hai biến. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [3], [8].
Chương 2. Phương trình vô định bậc nhất.
Chương này giới thiệu các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định bậc nhất. Phần cuối của chương trình bày ứng dụng của phương trình vô định để giải một số bài toán dân gian, bài toán số học và đại số.
Chương 3. Phương trình vô định bậc hai hai ẩn.
Chương này giới thiệu cách giải phương trình vô định bậc hai hai ẩn. Tuy nhiên để tránh độ dài của chương quá lớn, nên một lớp phương trình dạng đặc biệt: Phương trình Pell, chưa được đề cập đến, mà sẽ được trình bày trong chương kế tiếp.
Chương 4. Phương trình Pell.
Chương này trình bày về phương trình Pell, một dạng đặc biệt của phương trình vô định bậc hai hai ẩn. Phần cuối của chương giới thiệu một số bài toán ứng dụng liên quan đến phương trình Pell.
Để làm cơ sở cho các chương sau, phần đầu chương này trình bày một số tính chất số học trên tập các số nguyên, cụ thể là quan hệ chia hết, quan hệ đồng dư trên tập các số nguyên. Phần tiếp theo giới thiệu khái niệm liên phân số và phần cuối của chương trình bày một số khái niệm liên quan đến dạng toàn phương của hai biến. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [3], [8].
1.1. QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN
Ta ký hiệu và lần lượt là tập các số nguyên và tập các số tự nhiên.
Định nghĩa 1.1. Ta nói rằng số chia hết cho số , , ký hiệu là hay , nếu tồn tại số nguyên q sao cho . Khi đó số b gọi là ước số của a hay a là bội của b, còn số q gọi là thương của phép chia a cho b. Nếu a không chia hết cho b ta ký hiệu là b a.
Định lý 1.1 [3].
- Với mọi , suy ra .
- Với mọi , .
- Số 0 chia hết cho mọi số nguyên a khác 0.
- Nếu , và thì .
- Nếu và thì .
- Nếu và thì .
- Nếu và thì hoặc .
- Nếu thì với mọi .
Định nghĩa 1.2. Cho hai số nguyên a và b trong đó ít nhất một số khác không. Số dương d được gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. (d là ước chung của a và b)
2. Nếu thì .
Nói cách khác, d được gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu d là ước chung của a và b đồng thời là số lớn nhất trong các ước chung của a và b, ký hiệu: .
Nếu ta nói hai số a và b là nguyên tố cùng nhau.
Định lý 1.2 [3].
- Nếu và thì .
- Nếu và thì .
- Nếu p a và p là số nguyên tố thì .
- Nếu p là số nguyên tố và thì hoặc hoặc .
- Mọi số tự nhiên n có thể biểu diễn như tích của những thừa số nguyên tố , ở đây
Định lý 1.3 [3]. Nếu thì tồn tại hai số nguyên p và q sao cho
Hệ quả. Nếu thì tồn tại n số nguyên , , …, sao cho .
Định lý 1.4 [3]. Với hai số nguyên bất kỳ a và b sao cho tồn tại duy nhất những số nguyên q và r thỏa mãn và . Số r gọi là số dư trong phép chia a cho b (nếu , ta có a chia hết cho b).
Bổ đề [3]. Giả sử a, b, q, r là những số thỏa mãn đẳng thức . Khi đó .
Dựa vào bổ đề trên, để tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên a và b khác 0, ta chia a cho b ().
, với
Nếu thì dừng lại. Nếu ta chia b cho r và nhận được đẳng thức tương tự với Tiếp tục quá trình trên ta nhận được
Vì những số tạo thành dãy giảm ngặt những số không âm, nên tồn tại k để . Khi đó đẳng thức sau cũng có thể viết Theo bổ đề trên, ta có
Qua trình tìm ước chung lớn nhất nêu trên gọi là thuật toán Euclicde.
1.2. QUAN HỆ ĐỒNG DƯ TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN
Định nghĩa 1.3. Cho m là số nguyên dương và a, b là những số nguyên. Ta nói rằng a đồng dư với b theo modul m, nếu và ký hiệu là Trường hợp ngược lại, ta nói rằng a không đồng dư với b theo modul m và viết (mod m).
Định lý 1.5 [3]. Với mọi số nguyên a, b, c, d ta có:
1)
2) Nếu thì
3) Nếu và thì
4) Nếu và thì
5) Nếu thì trong đó
Định nghĩa 1.4. Cho n là một số nguyên dương. Ký hiệu là số lượng tất cả các số tự nhiên không lớn hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Hàm gọi là hàm Euler.
Định lý 1.6 [3].
- Nếu , p là số nguyên tố thì
- Nếu thì
Định lý 1.7 [3] (Định lý Euler). Nếu thì
Định nghĩa 1.5. Liên phân số hữu hạn là một biểu thức có dạng
trong đó , , . Và được ký hiệu là .
Những số gọi là thương không đầy đủ hoặc là phần tử của liên phân số.
Bằng thuật toán Euclic, ta có thể biểu diễn số hữu tỷ dưới dạng liên phân số hữu hạn như sau.
Từ đẳng thức đầu tiên ta nhận được hay
Từ đẳng thức thứ hai ta nhận được
Suy ra
Tiếp tục quá trình trên ta nhận được
Từ thuật toán Euclicde, ta có định lý sau.
Định lý 1.8 [8]. Mọi số hữu tỷ đều biễu diễn được dưới dạng liên phân số hữu hạn và ngược lại, mọi liên phân số hữu hạn đều là số hữu tỷ.
Định nghĩa 1.6. Cho một dãy vô hạn những số nguyên
với
Khi đó ta gọi biểu thức
là liên phân số vô hạn và ký hiệu ; còn những số gọi là những phần tử của liên phân số vô hạn.
Định nghĩa 1.7. Liên phân số vô hạn được gọi là tuần hoàn, nếu dãy là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó, tức là tồn tại các số nguyên dương m và k sao cho với mọi số nguyên , ta có .
Số nguyên dương k được gọi là chu kỳ. Lúc này ta viết lại liên phân số vô hạn dưới dạng .
Định lý 1.9 [8]. Mọi số vô tỷ đều biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn và ngược lại.
Định nghĩa 1.8. Cho số thực , phần nguyên của là số nguyên lớn nhất không vượt quá và được kí hiệu là .
Ta có thể biểu diễn số vô tỷ thành liên phân số vô hạn như sau
…
…
Khi đó .
Định nghĩa 1.9. Nếu là n phần tử đầu tiên của một liên phân số (hữu hạn hoặc vô hạn) thì liên phân số gọi là giản phân thứ n của liên phân số đã cho.
Cho liên phân số . Ta xác định hai dãy số và theo công thức sau
trong đó
Định lý 1.10 [8]. Thương số biểu diễn giản phân thứ n liên phân số , nghĩa là
Định lý 1.11 [8]. Với mọi số tự nhiên n, đẳng thức sau đúng
1.4.1. Các khái niệm liên quan
Định nghĩa 1.10. Dạng toàn phương của hai biến x, y là một biểu thức có dạng
với a, b, c là những số nguyên không đồng thời bằng 0.
Số được gọi là định thức của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương . Ta đổi biến số x và y bằng những biến và theo công thức
(1.1)
trong đó là những số nguyên.
Khi đó ,
trong đó
Đẳng thức (1.1) gọi là phép biến đổi dạng toàn phương. Số gọi là môđun của phép biến đổi (1.1). Khi đó định thức của dạng toàn phương là
Đẳng thức trên chỉ ra rằng sự chuyển đổi từ dạng toàn phương này sang dạng toàn phương khác có định thức bằng bình phương môđun của phép biến đổi nhân với định thức của dạng toàn phương ban đầu.
Nếu bình phương môđun của phép biến đổi bằng 1 thì dạng toàn phương đã cho và dạng toàn phương chuyển đổi có cùng một định thức. Bằng cách kiểm tra liên tiếp dễ thấy rằng trong trường hợp này dạng biến đổi thành dạng
thông qua sự biến đổi
với bình phương môđun của nó là Tóm lại, hai dạng toàn phương gọi là tương đương nhau khi từ dạng thứ nhất chuyển đổi sang dạng thứ hai, cũng như ngược lại đều thông qua một phép biến đổi với hệ số nguyên.
Nếu phép biến đổi (1.1) được gọi là phép biến đổi riêng, còn nếu thì phép biến đổi không riêng. Một cách tổng quát, phép biến đổi (1.1) gọi là riêng nếu và không riêng nếu
Nếu một dạng toàn phương bao hàm dạng toàn phương thông qua một phép biến đổi riêng thì ta nói rằng bao hàm riêng dạng , còn ngược lại thì nói không bao hàm riêng.
Nếu bao hàm riêng và ngược lại thì khi đó những dạng toàn phương và gọi là tương đương riêng. Nếu có một bao hàm không riêng thì gọi chúng là tương đương không riêng.
1.4.2. Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương
Cho dạng toàn phương và m là một số nguyên. Nếu tồn tại sao cho , ta nói rằng số nguyên m biểu diễn qua dạng toàn phương .
Nếu ta có phương trình .
– Nếu thì phương trình trở thành
.
Phương trình này có nghiệm nguyên.
– Nếu , giải phương trình theo ẩn x, ta tìm được
.
Suy ra phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi định thức D của nó là một số chính phương.
Nếu , giả sử rằng m biểu diễn được theo dạng toàn phương, tức là , với , là những số nguyên tố cùng nhau.
Ta biết rằng khi , là những số nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số nguyên p, q sao cho .
Dễ tính toán được đẳng thức sau
hoặc
trong đó , .
Suy ra nếu số biểu diễn qua dạng toàn phương với , và , thì phải tồn tại số nguyên V sao cho hiệu bình phương của số đó với định thức của dạng toàn phương chia hết cho m. Trong trường hợp này ta nói rằng định thức D là số dư của bình phương V đối với m.
Ta gọi số R là số dư của bình phương một số X đối với M, nếu chia hết cho M.
Mệnh đề 1.1 [3]. Nếu R là số dư của bình phương số X đối với M thì R là số dư của bình phương mọi số dạng .
Mệnh đề 1.2 [3]. Nếu một số nguyên biểu diễn thông qua một dạng toàn phương đã cho thì nó cũng biểu diễn thông qua mọi dạng toàn phương khác, mà nó bao hàm bởi dạng toàn phương đã cho.
Chứng minh.
Cho dạng toàn phương bao hàm dạng toàn phương thông qua phép biến đổi
, trong đó là những số nguyên.
Nếu phương trình vô định có nghiệm , trong số nguyên, thì dễ thấy những số
sẽ là một nghiệm nguyên của phương trình vô định
hay m biểu diễn thông qua dạng toàn phương .
Ví dụ. Những phương trình
hoặc là cả hai đều có nghiệm nguyên, hoặc là cả hai không có nghiệm nguyên. Thật vậy, dạng bao hàm dạng thông qua phép biến đổi. . Dạng bao hàm dạng thông qua phép biến đổi: .
Sau đây là một định lý cơ bản về sự biểu diễn của một số nguyên qua những dạng toàn phương.
Định lý 1.12 [3]. Nếu m là số nguyên khác 0, mà nó biểu diễn thông qua dạng toàn phương với , , và định thức D của nó là số dư bình phương của số V đối với m thì những dạng toàn phương sau tương đương riêng
và .
Chứng minh.
Vì nên tồn tại p, q sao cho . Chọn phép biến đổi
Môđun của nó bằng nên nó là phép biến đổi riêng. Dạng biến đổi sẽ là
Ta có là một số nguyên vì D là số dư của bình phương V đối với m. Như vậy ta được, nếu m biểu diễn qua dạng khi , mà thì dạng này bao hàm riêng
.
Dễ chứng minh được rằng dạng toàn phương bao hàm riêng dạng .
Chú ý rằng với những số nguyên p, q trong chứng minh trên không đòi hỏi điều kiện gì hơn ngoài việc chúng là nghiệm của phương trình . Nhưng những số như vậy vô cùng nhiều, vì chúng là nghiệm của phương trình vô định bậc nhất. Cũng dễ chứng minh được trong số những số p và q mà nó tương ứng với V có những số V không âm và nhỏ hơn . Để giải các bài toán trong thực tế ta chỉ chọn những số p, q sao cho .
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT
Chương này giới thiệu các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định bậc nhất. Phần cuối của chương trình bày ứng dụng của phương trình vô định để giải một số bài toán dân gian, bài toán số học và đại số.
Định nghĩa 2.1. Phương trình vô định (hay còn gọi là phương trình Diophante) là phương trình có dạng:
trong đó là một đa thức của các biến , với hệ số nguyên.
Nghiệm của phương trình vô định thường được tìm trong một tập hợp số nào đó như: số nguyên dương, số nguyên, số hữu tỷ,…. Giải phương trình vô định là tìm tất cả các bộ số thỏa mãn phương trình.
Định nghĩa 2.2. Một phương trình vô định mà nghiệm được tìm trong tập số nguyên được gọi là phương trình vô định nghiệm nguyên.
Ví dụ 2.1. Định lý lớn Fermat: “Phương trình không có nghiệm khác 0 với ” là một bài toán về phương trình vô định nghiệm nguyên.
Không có một phương pháp chung nào cho việc giải các phương trình vô định nghiệm nguyên. Tuy nhiên đối với một số lớp phương trình vô định nghiệm nguyên nào đó thì đã có điều kiện tồn tại nghiệm cũng như cách tìm các nghiệm của nó.
Để thuận tiện, từ đây về sau nếu không nói gì khác, thì phương trình vô định nghiệm nguyên được gọi là phương trình vô định.
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN
2.2.1. Các định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm
Định nghĩa 2.3. Phương trình vô định bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng (2.1)
trong đó a, b, c là những số nguyên gọi là hệ số của phương trình; a, b khác 0.
Mỗi cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức (2.1), nghĩa là , được gọi là một nghiệm của phương trình (2.1).
Định lý 2.1 [3]. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.1) có ít nhất một nghiệm số nguyên là ước số chung lớn nhất của hai số a và b là ước số của c.
Chứng minh.
Giả sử phương trình (2.1) có nghiệm nguyên. Khi đó tồn tại cặp số nguyên sao cho .
Từ đẳng thức trên suy ra mọi ước chung của a và b đều là ước của c. Đặc biệt, cũng là ước của c.
Ngược lại, giả sử là ước của c. Theo Định lý 1.3, tồn tại hai số nguyên sao cho (2.2)
Vì nên ta có thể viết , với c1 là một số nguyên. Nhân hai vế của đẳng thức (2.2) với c1, ta được
Vậy phương trình (2.1) có một nghiệm nguyên là . Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả Nếu a và b là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau thì phương trình vô định có ít nhất một nghiệm nguyên.
Định lý 2.2 [3]. Nếu là một nghiệm nguyên của phương trình (2.1) thì phương trình có vô số nghiệm nguyên và các nghiệm nguyên của nó được cho bởi công thức
(2.3)
trong đó và .
Chứng minh.
Bằng cách thay ở (2.3) vào (2.1), ta thấy nó là một nghiệm của phương trình. Ta sẽ chứng minh rằng mọi nghiệm của (2.1) đều có dạng (2.3).
Giả sử là một nghiệm nguyên tùy ý của phương trình (2.1). Khi đó ta có:
Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên ta được:
(2.4)
hay
Đẳng thức này chứng tỏ chia hết cho b. Từ đó suy ra:
chia hết cho , với .
Vì d là ước chung lớn nhất của a và b, nên và là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó chia hết cho .
Suy ra tồn tại số nguyên t sao cho: .
Vậy . Thay kết quả này vào (2.4) ta được:
.
Từ đó suy ra: .
Nhận xét 2.1. Định lý 2.2, cho thấy để giải phương trình (2.1) ta chỉ cần tìm một nghiệm nguyên nào đó của nó. Ta gọi một nghiệm như thế là một nghiệm riêng, còn công thức (2.3) gọi là nghiệm tổng quát của phương trình.
2.2.2. Ý nghĩa hình học của phương trình vô định bậc nhất hai ẩn
Ta đã biết trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi điểm được xác định bằng một cặp số thực và ngược lại mỗi cặp số thực xác định một điểm.
Theo Định lý 2.2, nếu phương trình vô định có một nghiệm nguyên thì nó cũng có vô số nghiệm nguyên. Định lý sau thể hiện ý nghĩa hình học của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Định lý 2.3 [3]. Nếu một đường thẳng có phương trình , với a, b, c là những số nguyên, a và b khác 0, đi qua một điểm với tọa độ nguyên, thì đường thẳng này đi qua vô số điểm có tọa độ nguyên.
2.3. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Xét phương trình vô định , với là ước của c (2.5)
Không mất tính tổng quát, ta có thể xem các hệ số a, b của phương trình là những số nguyên dương ( vì nếu chẳng hạn, thì bằng phép đổi biến số ta được phương trình có hệ số của x dương).
2.3.1. Phương pháp dùng thuật toán Euclide
Giả sử .
Thực hiện phép chia a cho b, ta được:
.
– Nếu , thì , và phương trình (2.5) có dạng:
Chia hai vế của đẳng thức trên cho b ta được: ,
phương trình này có nghiệm là
– Nếu thì phương trình (2.5) có dạng:
Đặt ta được phương trình
với và ,
phương trình này có dạng (2.5).
Lặp lại quá trình trên bằng cách chia b cho r, ta được , . Cứ tiếp tục như thế thì sau một số hữu hạn lần ta sẽ được phép chia hết (vì dãy các số dư là dãy các số tự nhiên đơn điệu giảm).
Giả sử , ta suy ra được . Từ cặp bằng cách thay ngược lên ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
Ví dụ 2.2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
.
Lời giải.
Ta có , suy ra phương trình có nghiệm nguyên.
Chia 15 cho 9 ta được: 15 = 9.1 + 6
Đặt , ta được phương trình:
chia 9 cho 6 ta được: 9 = 6.1 + 3
Đặt , ta được phương trình:
,
phương trình cuối cùng có nghiệm là:
, ,
thay ngược lên ta được: ,
hay , từ đó ta có:
, suy ra
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: , .
2.3.2. Phương pháp dùng liên phân số
Xét phương trình (2.5) và đặt , với .
Chia cả hai vế của phương trình (2.5) cho d ta được:
, (2.6)
với và .
Giả sử số hữu tỷ có biểu diễn liên phân số như sau:
.
và là các giản phân của liên phân số này. Theo Định lý 1.11, ta có: , và .
Vì và đều là những phân số tối giản nên
suy ra
,
nghĩa là là một nghiệm riêng của phương trình (2.6) và do đó là nghiệm riêng của phương trình (2.5).
Bây giờ ta sẽ giải ví dụ 2.2 bằng phương pháp liên phân số.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Lời giải.
Ta có , suy ra phương trình có nghiệm nguyên.
Phương trình đã cho tương đương với:
Khai triển thành liên phân số:
.
Ta có và
, ,
, ,
, , , .
Suy ra phương trình có một nghiệm nguyên riêng
.
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là:
, .
2.3.3. Phương pháp biến số nguyên
Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình khác mà dễ tìm nghiệm riêng hơn, từ đó suy ra nghiệm riêng của phương trình ban đầu. Cụ thể như sau:
Xét phương trình (2.5).
Bước 1: Giả sử , biểu thị y qua x (nếu thì biểu thị x qua y) ta được: . Chia a và c cho b ta có:
, trong đó .
Khi đó, và là những số nguyên.
Bước 2: Đặt . Ta được phương trình:
(theo hai biến x và z).
Tiếp tục quá trình trên ta sẽ được một phương trình vô định mà việc tìm nghiệm nguyên riêng là đơn giản (thường là phương trình vô định mà có một hệ số của biến bằng ). Từ đó ta suy ra được nghiệm nguyên riêng của phương trình ban đầu.
Bây giờ ta sẽ giải ví dụ 2.2 bằng phương pháp biến số nguyên.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Lời giải.
Ta có , suy ra phương trình có nghiệm nguyên.
Phương trình đã cho tương đương với:
.
Đặt . Suy ra hay
.
Đặt hay . Dễ thấy là một nghiệm riêng của phương trình vừa tìm được.
Từ đó suy ra và là một riêng nghiệm riêng của phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho ban đầu là: , .
Định lý sau là cơ sở cho việc giải phương trình vô định bậc nhất bằng phương pháp hàm Euler.
Định lý 2.4 [3]. Cho a và b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và c là một số nguyên bất kì. Khi đó phương trình ax + by = c, có một nghiệm nguyên là:
, .
Chứng minh.
Dễ thấy là một số nguyên. Theo Định lý Euler-Fermat ta có , nghĩa là chia hết cho b và suy ra cũng là số nguyên.
Ta có: .
Vậy là một nghiệm của phương trình . Định lý đã được chứng minh.
Bây giờ ta sẽ giải ví dụ 2.2 bằng phương pháp hàm Euler.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Lời giải.
Ta có: .
Vì (5, 3) = 1 nên theo Định lý 2.4, phương trình có một nghiệm riêng như sau: , .
Những số nguyên dương nhỏ hơn 3 và nguyên tố cùng nhau với 3 là 1 và 2, suy ra . Khi đó
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ,
2.3.5. Phương pháp đưa về phương trình đồng dư
Định lý 2.5 [4]. Phương trình vô định , với , tương đương với hệ phương trình đồng dư:
Chứng minh.
Giả sử là nghiệm nguyên của phương trình
,
suy ra:
, tức là . Đồng thời .
Vậy là nghiệm của hệ phương trình .
Giả sử là một nghiệm của phương trình .
nghĩa là , khi đó sao cho
suy ra .
Vậy là một nghiệm của phương trình .
Định lý đã được chứng minh.
Bây giờ ta giải ví dụ 2.2 bằng phương pháp đưa về phương trình đồng dư.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Lời giải.
Ta có , suy ra phương trình trên có nghiệm.
Phương trình đã cho tương đương với:
Theo Định lý 2.5, ta có:
Bây giờ ta giải phương trình đồng dư:
Ta có
Từ đó suy ra: , .
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: , .
2.4. PHƯƠNG TRÌNH VÔ ĐỊNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
2.4.1. Định nghĩa và định lý tồn tại nghiệm
Định nghĩa 2.4. Phương trình vô định bậc nhất n ẩn là phương trình có dạng , (2.7)
trong đó ; , ; .
Mỗi bộ số nguyên thỏa mãn phương trình (2.7) được gọi là một nghiệm của phương trình vô định bậc nhất n ẩn.
Định lý 2.6 [10]. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.7) có nghiệm nguyên là
Chứng minh.
Giả sử phương trình (2.7) có ít nhất một nghiệm nguyên, tức là tồn tại bộ số nguyên sao cho .
Giả sử . Từ đẳng thức trên suy ra mọi ước chung của , đều là ước của b, nên d cũng là ước của b.
Giả sử thì , . Vì nên sao cho:
.
Vậy phương trình (2.7) có một nghiệm là . Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét 2.2. Nếu phương trình (2.7) có một nghiệm nguyên thì nó sẽ có vô số nghiệm nguyên phụ thuộc vào n 1 tham số.
Thật vậy dễ dàng kiểm tra được tất cả các bộ số n số nguyên x1, x2, …, xn xác định như sau cũng là nghiệm của phương trình (tuy nhiên không phải là tất cả các nghiệm).
,
,
… ,
,
trong đó là những số nguyên bất kỳ, gọi là những tham số.
2.4.2. Phương pháp giải phương trình vô định bậc nhất nhiều ẩn
Xét phương trình vô định: , (2.8)
trong đó ; , ; , .
Đặt . Ta có , , ở đây là hai số nguyên tố cùng nhau. Phương trình (2.8) được viết lại
(2.9)
Đặt . (2.10)
Khi đó (2.9) được viết lại là
(2.11)
Giả sử là một nghiệm nguyên của phương trình (2.11). Với số xác định u0, phương trình (2.10) có nghiệm vì . Khi đó là một nghiệm nguyên của phương trình (2.9) và do đó là nghiệm của phương trình (2.8).
Vậy mọi nghiệm nguyên của phương trình (2.8) đều là nghiệm của phương trình (2.11) với điều kiện (2.10) và ngược lại. Như vậy từ phương trình vô định n ẩn ta đưa về phương trình vô định ẩn và tiếp tục như vậy ta nhận được phương trình vô định hai ẩn. Mỗi lần giảm số ẩn như vậy ta lại giải phương trình vô định bậc nhất hai ẩn qua tham số. Cuối cùng ta được
hệ nghiệm phụ thuộc vào tham số.
Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định
Lời giải.
Ta có , suy ra phương trình có nghiệm nguyên.
Ta đưa vào ẩn mới , phương trình đã cho viết lại
.
Phương trình sau cùng lại đưa ẩn mới và nhận được phương trình .
Giải phương trình , trong đó u là một số nguyên, và là hai ẩn. Một nghiệm nguyên riêng của phương trình là
,
và tất cả các nghiệm là , .
Giải phương trình , trong đó v là một số nguyên, u và là hai ẩn. Một nghiệm nguyên riêng của phương trình là
,
và tất cả các nghiệm là , .
Tất cả những nghiệm nguyên của với một nghiệm riêng là , .
Bằng cách thay u và v vào các biểu thức của , , ta nhận được công thức nghiệm:
,
,
, ,
trong đó là những số nguyên, tùy ý.
2.5. MỘT SỐ BÀI TOÁN DÂN GIAN VÀ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Trong dân gian có một số câu đố được truyền tụng dưới dạng thơ ca, hò vè. Việc giải các câu đố này không có gì phức tạp, chỉ cần đưa về một phương trình vô định rồi biện luận.
Bài toán 1.
Đem một trăm đồng chẵn
Mua gà được trăm con
Năm đồng mỗi con trống
Con mái ba đồng tròn
Mỗi đồng ba gà chiếp (gà con)
Hỏi mỗi loại mấy con?
Lời giải.
Ta ký hiệu x là số con gà trống mua được,
y là số con gà mái mua được,
z là số con gà chiếp mua được.
Khi đó tổng số gà là
và số tiền là
.
Từ hai phương trình ta suy ra được
, (2.12)
đây là một phương trình vô định có nghiệm được xác định trong tập số tự nhiên.
(2.12) .
Từ điều kiện , ta có x phải chia hết cho 4 và nhỏ hơn 15. Như vậy x chỉ có thể là 4, 8, 12, ứng với chúng ta có y = 18, 11, 4 và số gà con mua được là z = 78, 81, 84
Vậy bài toán có 3 đáp án
4 gà trống, 18 gà mái, 78 gà con
8 gà trống, 11 gà mái, 81 gà con
12 gà trống, 4 gà mái, 84 gà con
Tương tự như bài toán trên, ta còn có bài toán như sau:
Bài toán 2.
Một trăm con trâu,
Một trăm bó cỏ.
Trâu đứng ăn năm,
Trâu nằm ăn ba,
Ba con trâu già
Ăn chung một bó.
Hãy tính số trâu mỗi loại.
E:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\TOAN SO CAP/ LV KIM ANH
