Phương pháp tọa độ và ứng dụng trong giải toán sơ cấp
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu lịch sử môn hình học, ta thấy Euclid, nhà toán học kiêm nhà triết học của Hi Lạp sống vào thế kỉ thứ ba trước Công nguyên đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của phương pháp tiên đề. Tác phẩm “Cơ bản” nổi tiếng của Euclid là một đóng góp xuất sắc trong việc phát triển và xây dựng hình học. Sau đó gần 20 thế kỉ, René Descartes một nhà triết học kiêm vật lí và toán học nổi tiếng của Pháp đã phát minh ra phương pháp tọa độ, đánh dấu cho sự mở đầu của cuộc cách mạng trong toán học nói chung và hình học nói riêng.
Dựa vào phương pháp tọa độ do chính mình phát minh, René Descartes đã sáng lập ra môn hình học giải tích. Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học. Việc này giúp ta bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hóa, trừu tượng của toán học và nhiều lĩnh vực khác. Hơn nữa trong một số bài toán đại số nếu chúng ta chuyển qua bài toán hình học và sử dụng kết quả của hình học tổng hợp sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn.Chẳng hạn như một số bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị…
Ngày nay, “phương pháp tọa độ” là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán bậc phổ thông trung học, đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học. Phương pháp tọa độ là một trong những phương pháp hay và khó, có tính trừu tượng cao, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán sơ cấp. Cùng với sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp tọa độ và ứng dụng trong giải toán sơ cấp” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. Tiếp đó, ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian để giải một số dạng bài toán sơ cấp trong đại số và hình học thuộc chương trình bậc phổ thông trung học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là hệ thống hóa chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ, đề xuất quy trình giải bài toán sơ cấp bằng phương pháp tọa độ, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán sơ cấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khai thác công cụ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong đại số và hình họcnhư: bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, bài toán giải phương trình, bất phương trình, bài toán chứng minh các tính chất hình học, bài toán xác định các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích,… và các bài toán liên quan trong hệ tọa độ Decartes.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian và hệ thống các kiến thức liên quan.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
- Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong toán học thuộc chương trình toán bậc phổ thông trung học.
- Hệ thống lại một cách hoàn chỉnh các bài toán liên quan đến phương pháp tọa độ thể hiện trong từng dạng toán cụ thể.
- Phát huy tư duy, tính tự học và sáng tạo của học sinh.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương.
Chương 1: Các kiến thức cơ sở.
Chương 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong giải toán sơ cấp.
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan trong hệ tọa độ phẳng và hệ tọa độ không gian, các công thức liên quan đến phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình đường tròn và xét vị trí tương đối… Ngoài ra đề cập đến một số ứng dụng về phép toán vectơ có sử dụng trong luận văn. Các kiên thức được trình bày ở đây có thể tham khảo tại các tài liệu [2], [3], [5].
1.1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.1.1. Giới thiệu hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
- Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc
Trong mặt phẳng cho hai trục Ox và Oy vuông góc với nhau.
Vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy lần lượt ký hiệu là .
Điểm O gọi là gốc trục toạ độ; Ox, Oy lần lượt gọi là trục hoành, trục tung.
Hình 1.1
Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc, kí hiệu là Oxy hay .
1.1.2.Toạ độ của một điểm, của vectơ đối với hệ trục toạ độ
Đối với hệ trục toạ độnếu thì cặp số (x ;y) được gọi là tọa độ của vectơ , ký hiệu là hay; x là hoành độ, y là tung độ của
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ được gọi là toạ độ của M.
1.1.3. Các phép toán vectơ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ :
. Ta có:
⦁. ⦁.
⦁. ⦁.
⦁. ⦁.
⦁. ⦁.
1.1.4. Các công thức về tọa độ trong mặt phẳng
- Phương trình của đường thẳng :
Cho là vectơchỉ phương,là vectơ pháp tuyến của d.
Xét điểm M( thuộc d.
Phương trình tổng quát của d:
hoặc:.
- Góc và khoảng cách:
Góc giữa hai đường thẳng là:
.
Với và lần lượt là vec-tơ pháp tuyến của .
Khoảng cách giữa hai điểm và , kí hiệu , được tính theo công thức:
.
Khoảng cách từ M() đến d: xác định theo công thức:
d(M;d) = .
1.2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.2.1. Giới thiệu hệ trục tọa độ trong không gian
z
.
x
.
0
y
.M
.
.
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc với nhau.
Vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt ký hiệu là và độ dài của ba vectơ này bằng nhau, O: gốc tọa độ, Ox, Oy, Oz: trục hoành, trục tung, trục cao độ, (Oxy);(Oxz);(Oyz): các mặt phẳng tọa độ.
Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn được gọi là hệ trục toạ độ trong không gian, kí hiệu là Oxyz hay .
Hình 1.2
1.2.2. Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ trong không gian
Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz và một vectơ . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x, y, z) sao cho . Ta gọi bộ số thực (x, y, z) là tọa độ của và kí hiệu là: hoặc .
Vậy: .
Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của là tọa độ của điểm M.
1.2.3. Các phép toán vectơ trong không gian
- Cho hai véctơ: . Ta có:
. .
. .
. .
. .
- Ứng dụng:
Diện tích hình bình hành dựng theo hai vectơ và được tình theo công thức: .
Trong đó là tích có hướng của hai vectơ và .
Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:.
Thể tích lăng trụ :.
Thể tích tứ diện: .
1.2.4. Các công thức về tọa độ trong không gian
Góc và khoảng cách trong không gian Oxyz.
Góc:
⦁Góc giữa hai đường thẳng : Cho là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
.
⦁Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho là vectơ pháp tuyến của mp .
là vectơ pháp tuyến của mp .
.
⦁Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, là vectơ pháp tuyến của mp .
Khi đó : .
Khoảng cách:
⦁Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Cho điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng (): A.x + B.y + Cz + D = 0.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ()
d(M; ()) = .
⦁Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
Cho đường thẳng qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương là.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng:
d(M;) = .
⦁Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho đường thẳng qua M1 và có VTCP , đường thẳng qua M2 và có VTCP.
Khoảng cách giữa hai đường thẳngvà:
d = chéo
.
CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Trong chương này chúng tôi vận dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng bài toán thường gặp về đại số và hình học trong chương trình toán phổ thông. Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10].
2.1. ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ
Phương pháp tọa độ là một trong các phương pháp giúp chúng ta chuyển việc nghiên cứu các tính chất của hình học bằng công cụ đại số. Việc làm này một phần nào đó đã làm giảm đi tính trừu tượng của việc giải bài toán hình học. Trong nhiều trường hợp chúng ta lại thực hiện công việc ngược lại, đó là chuyển một bài toán đại số (nhất là bài toán cực trị) sang bài toán hình học và sử dụng các kết quả đã biết trong hình học để giải quyết.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số chủ đề ứng dụng phương pháp tọa độ trong đại số và các bài toán minh họa cụ thể cho mỗi chủ đề.
2.1.1. Ứng dụng vào giải phương trình, hệ phương trình
a. Giải phương trình chứa căn thức
Phương pháp:Khi gặp các bài toán giải phương trình chứa căn thức bậc hai, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai đã cho và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại. Từ đó sử dụng bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán.
Dưới đây là một só bài toán minh họa:
Bài 1: Giải phương trình :
.
Bài2:Giải phương trình:
.
Bài 3: Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của phương trình:
.
Một số bài toán tham khảo.
Bài toán 1: Giải phương trình:
.
Bài toán 2:Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của phương trình:
.
b. Giải hệ phương trình
Phương pháp: Khi gặp các bài toán giải hệ phương trình nhiều ẩn, để ứng dụng phương pháp tọa độ, thông thường chúng ta biến đổi hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình tương đương sao cho mỗi phương trình chứa các biểu thức nhận giá trị của tích vô hướng, độ dài của vectơ hoặc các phép toán về vectơ. Từ đó, xác định các vectơ thích hợp và ứng dụng các tính chất của vectơ, công thức về tọa độ trong mặt phẳng hoặc không gian để giải.
Đối với các hệ phương trình hai ẩn, chúng ta có thể xem mỗi phương trình là phương trình của một đường trong mặt phẳng, vì vậy tìm nghiệm của hệ phương trình có thể đưa về tìm giao điểm của các đường tương ứng, trong đó hoành độ và tung độ của giao điểm chính là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Để minh họa, chúng ta xét một số ví dụ sau.
Bài 4: Giải hệ phương trình.
Trong đó a,b,c là các số thực dương cho trước thỏa mãn là ba cạnh của một tam giác không tù.
Bài 5: Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của hệ:.
Bài 6: Tìm tham số thực m để hệ có hai nghiệm phân biệt và đạt giá trị nhỏ nhất:.
Một số bài toán tham khảo.
Bài toán 3: Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm:
.
Bài toán 4: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau:
.
2.1.2. Ứng dụng giải bất phương trình, hệ bất phương trình
Phương pháp: Khi gặp các bài toán giải bất phương trình chứa căn thức bậc hai, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai đã cho và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại. Từ đó sử dụng bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán.
a. Bài toán giải bất phương trình
Bài 8: Giải bất phương trình:.
Bài 9: (Trích Đề thi tuyển sinh Đại học Khối A năm 2010)
Giải bất phương trình: .
Bài 10: Giải bất phương trình:
.
Một số bài toán tham khảo.
Bài toán 5: Giải bất phương trình:
.
Bài toán 6: Giải bất phương trình:
.
b. Bài toán giải hệ bất phương trình
Bài 11: Xác định tham số thực k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Bài 12: Cho hệ.Tìm tham số thực m để hệ có nghiệm duy nhất.
Một số bài toán tham khảo.
Bài toán 7: Cho hệ.
Tìm tham số thực m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán 8: Giải hệ: .
2.1.3. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất dẳng thức
Phương pháp: Để giải các bài toán chứng minh đẳn thức và bất đẳng thức bằng phương pháp tọa độ, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai đã cho và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại. Từ đó sử dụng bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán.
Dưới đây là một số bài toán minh họa cụ thể.
Bài 13:
Chứng minh.
(Bất đẳng thức Buinhiacôpxky)
Bài 14: Chứng minh rằng với các số thực a, b, c ta có :
.
Bài 15: (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối A năm 2003)
Cho x,y,z là 3 số dương và . Chứng minh:
.
Một số bài toán tham khảo.
Bài toán 9: Cho . Chứng minh:
.
Bài toán 10: Chứng minh rằng ta có
.
2.1.4. Bài toán cực trị
Phương pháp: Để ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải các bài toán cực trị, trước hết chúng ta cần chọn hệ tọa độ, các vectơ thích hợp. Từ đó thiết lập biểu thức giải thích cho đối tượng tìm cực trị và áp dụng các bất đẳng thức vectơđể giải.
Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
với .
Bài 18: Cho các số thực a,b,c thỏa
.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Bài 19: Cho . Chứng minh: .
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 11: Cho. Tìm giá trị lớn nhất của .
Bài toán 12: Cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Nhận xét: Các bài toán cực trị nếu giải theo phương pháp đại số thuần túy sẽ rất phức tạp, dài dòng và yêu cầu học sinh phải nhớ rất nhiều công thức. Để đơn giản hơn ta sử dụng phương pháp tọa độ.
2.2. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN
2.2.1. Bài toán chứng minh đẳng thức hình học và tính toán
Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxy hoặc Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành công của bài toán).
Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng vuông góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Trong không gian, thông thường cho hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông. Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:
Bài 1: Cho vuông tại A, AB = c, AC= b. M nằm trên cạnh BC sao cho góc BAM bằng.
Chứng minh rằng.
Bài 2: Cho có trực tâm H. Trên đoạn HB, HC lấy điểm B1, C1 sao cho góc AB1C và góc AC1B.
Bài 3:Cho hình chóp OABC trong đó tam diện đỉnh O là tam diện vuông, điểm P nằm trong.
Đặt .
Gọi là góc giữa OP và mặt phẳng (ABC).
Chứng mình rằng: .
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC cân tại A. M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng MA2 + MB.MC ≤ AB2.
Bài toán 2: (Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1979).
Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh giá trị của không phụ thuộc vào vị trí của M.
2.2.2. Bài toán chứng minh tính chất thẳng hàng và đồng quy
a. Bài toán chứng minh tính chất thẳng hàng
Chúng ta đã biết trong hình học phẳng để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một đường thẳng. Còn trong hình học không gian để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm đó thuộc cùng một đường thẳng hoặc chứng minh 3 điểm đó là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Sau đây là cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học giải tích.
Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:
Bài 4:Cho tứ giác ABCD. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tứ giác ABCD và tam giác ABC. Chứng minh D,G,G’ thẳng hàng.
Bài 5: (Thi vào chuyên Toán Phổ Thông Năng Khiếu năm học 2009 – 2010) Cho đường tròn tâm , đường kính AB. là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho tam giác không cân tại . Gọi là chân đường cao của tam giác hạ từ . Hạ vuông góc với tương ứng. Các đường thẳng và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của và đường tròn đường kính ,. Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng.
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 ; O là tâm hình vuông BCC1B1, M là một điểm thuộc đoạn C1O. Mặt phẳng (MA1D) cắt B1D1 ở I và cắt
AC tại J. Chứng minh I, M, J thẳng hàng..
Một số bài toán tham khảo.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng của A qua B. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho . Chứng minh rằng 3 điểm I, J , K thẳng hàng.
Bài toán 4:Cho tứ diện S.ABC có góc tam diện vuông. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh ba điểm S,G,I thẳng hàng.
b. Bài toán chứng minh tính chất đồng quy
Bài 7: Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’ cùng cùng chiều. Chứng minh rằng các đường thẳng BB’, CC’ và DD’ đồng quy.
Bài toán 8:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I,J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’; BCC’B’; ABB’A’. Chứng minh rằng ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy.
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 5: Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM .
a). CMR : S, I, J thẳng hàng.
b). Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
Bài toán6: Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
a). Chứng minh 3 đường thẳng AB, MN, RS đồng qui.
b). Chứng minh 3 đường thẳng CD, MS, NR đồng qui.
2.2.3. Bài toán về khoảng cách
Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các công thức tính khoảng cách đã trình bày ở chương 1 và các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MA=2MB. N là trung điểm của AC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng . Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng SN.
Bài 10: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a.Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC)..
Bài 11: (Đề thi tuyển sinh Đại học Khối A năm 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC vàmặtphẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Dưới đây là một số bài toán tham khảo.
Bài 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài toán 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002).
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
2.2.4. Bài toán quỹ tích.
Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó.
Đặc biệt với bài toán quỹ tích, phương pháp toạ độ cũng là một phương pháp cho phép tìm ra các đường cong quỹ tích một cách hiệu quả, tự nhiên. Và phương pháp này cũng cho phép tìm ra những quỹ tích phi truyền thống.
Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:
Bài 13: Cho, M là điểm di động trên cạnh BC. Hạ MN, PQ tương ứng vuông góc và song song với AB ( NAB, QBC ). Gọi P là hình chiếu của Q trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ.
Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB.
Bài 14: (Đường tròn Appolonius).
Cho hai điểm A, B và một số thực dương k. Tìm quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho MA = kMB.
Bài 15. Trong không gian cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
AM:BM=k. với 0<k1.
Dưới đây là một số bài toán tham khảo:
Bài toán 9: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2007-2008).
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD. Xét điểm M trên d. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của MB và MC. Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động.
Bài toán 10:(Đề thi học sinh giỏi toán quốc năm 1979).
Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh giá trị của không phụ thuộc vào vị trí của M.
2.2.5. Bài toán xác định số đo góc
Phương pháp:
Để tìm góc giữa hai đường thẳng ta tìm hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó, rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng để đi đến kết quả.
Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta tìm hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng rồi áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để đi đến kết quả.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng ta tìm hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó, rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng để đi đến kết quả.
Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:
Bài 16: Cho cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng
Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), . Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 11: Cho tam giác ABC đều có canh bằng 2a và d là đường thẳng tùy ý cắt các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi x,y,z tương ứng là các góc giữa đường thẳng d và các đường thẳng BC, AC, AB. Chứng minh:.
Bài toán 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=h. Tình góc giữa SC và mặt phăng (SBD).
Bài toán 13: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.
Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC).
2.2.6. Bài toán xác định điểm, đường thẳng cố định
Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A không phải vuông cân, trên cạnh AB và AC lấy M, N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 20: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a.
Trên BD và AD’ lần lượt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho
Chứng minh rằng:MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 14: Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c với a,b,c thỏa ab+bc+ac=2abc. Các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng khi a,b,c thay đổi thì mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài toán15: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. M, N là 2 điểm di động trên các đoạn thẳng AC, B’D’ sao cho (M, N không trùng hai đầu điểm mút của các đoạn thẳng). Chứng minh MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
2.2.7. Bài toán tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện
Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Bài toán 21: ( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt lượt trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 22. (Đề dự bị tuyển sinh Đại học khối D năm 2003)
Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tam giác ABC vuông tại B, AB= a, CA=SA=2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh tam giác AMB cân tại M. Tính diện tích tam giác AMB.
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 16: (Đề Olympic 30-4-2007, lớp 11)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng d và số đo của góc nhị diện bằng . Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD theo d.
Bài toán 17: (Đề thi tuyển sinh Đại học Khối A năm 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB,BC,CD. Tính thể tích khối đa diện CMNP.
2.2.8. Các bài toán tổng hợp
Bài 25: Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = SC
(ABC), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M, N lần lượt di động trên tia AS và CB sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a).
a) Tính độ dài đoạn MN theo a và t.
Tìm t sao cho MN ngắn nhất;
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 26: (Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A năm 2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
Một số bài toán tham khảo:
Bài toán 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB =1, AD = 1, AA’ = .
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và BD.
- Gọi (Q) là mặt phẳng qua A vuông góc với A’C. Tính diện tích của thiết diện.
Bài toán 19: (Đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ Thông Quốc gia 2015)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
KẾT LUẬN
Với mục tiêu của đề tài, luận văn: “Phương pháp tọa độ và ứng dụng trong giải toán sơ cấp” đã thực hiện được các nội dung sau:
+Hệ thống các kiến thức liên quan đến phương pháp tọa độ trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông.
+Hệ thống và phân loại các chủ đề toán bẳng phương pháp tọa độ cụ thể như sau: bài toán giải phương trình và hệ phương trình; bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình; bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; bài toán cực trị; bài toán chứng minh đẳng thức hình học và tính toán; bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng quy; bài toán về khoảng cách; bài toán quỹ tich; bài toán xác định số đo góc; bài toán xác định điểm, đường thẳng cố định; bài toán tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện; các bài toán tổng hợp…
Đối với mỗi chủ đề, có các bài toán minh họa và bài toán tham khảo kèm theo. Đối với mỗi dạng toán, có phân tích định hướng giả và sau mỗi phần có nhận xét phân tích, đánh giá phương pháp giải.
Hy vọng rằng nôi dung của luận văn sẽ còn được tiếp tục mở rộng và hoàn thiện hơn nữa để có thể giải quyết được nhiều chủ đề toán thuộc chương tình Toán bậc trung học phổ thong. Trong quá trình làm luận văn do hạn chế về thời gian và năng lực nên luận văn còn nhiều thiếu sót, rất mông nhận được ý kiến nhận xét từ quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
E:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\TOAN SO CAP\KIM LOAN
