MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG

MỞ DẦU

1. Lý do chọn đề tài

Ma trªn chiếm m®t vị trí quan trọng trong toán học. Lý thuyết về ma trªn có mối liȇn h» mªt thiết với nhiều lǐnh vực khác nhau của toán học và có nhǎng áng dụng trong nhiều lǐnh vực quan trọng của toán học, xȃy dựng, cơ học, vªt lý lý thuyết, kinh tế và các lǐnh vực khoa học ky thuªt khác. Chẫng hạn vi»c sả dụng nhǎng phép biến dỗi, tính toán của ma trªn và dựa trȇn các mối liȇn h» giǎa sự dịch chuyễn của các quả n°ng, d® biến dạng của lò xo, lực dàn hồi, trọng lực của quả n°ng dễ tìm ra ma trªn d® cáng K. Tà dó, có thễ dễ dàng tính dmợc sự dịch chuyễn của quả n°ng, d® biến dạng của lò xo và lực dàn hồi.

Trong m®t số bài toán về dǎy số nhmng dǎy số cho theo cȏng thác truy hồi, nhǎng bài toán về h» phmơng trình vi phȃn hay bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến thì vi»c dùng ma trªn dễ giải là m®t hmớng khá hay và ta có thễ thu dmợc nhǎng kết quả mới bất ngờ mà dùng các cách giải thȏng thmờng khȏng có dmợc. Cǔng nhm trong vi»c tính toán di»n tích, thễ tích của m – h®p, m – dơn hình trong khȏng gian Euclide n – chiều ta có thễ sả dụng dịnh thác Gram dễ tính toán sě giúp giải bài toán nhanh chóng và dễ dàng hơn rất nhiều.Diều d°c bi»t hơn là ta có thễ áng dụng trong kinh tế.

Với nhǎng lý do trȇn, tȏi dmới sự hố trợ của giáo viȇn hmớng dấn TS. Phan Dác Tuấn quyết dịnh lựa chọn dề tài: “Ma trận và ứng dṇng”.

1. Mṇc đích nghiên cfíu

Mục tiȇu của dề tài là nhằm giúp ngmời dọc nắm lại kiến thác của ma trªn. Qua dó có thễ áp dụng dễ tìm lời giải cho m®t số bài toán sơ cấp, nhǎng bài toán liȇn quan dến tính các dại lmợng trong h» thống lò xo hay trong kinh tế.

1. Dối tưỢng và phạm vi nghiên cfíu
   1. Dối tưỢng nghiên cfíu

Dối tmợng nghiȇn cáu của dề tài là lý thuyết ma trªn, h» thống lò xo, mȏ hình kinh tế mở Leontief.

• 1. Phạm vi nghiên cfíu

Phạm vi nghiȇn cáu của dề tài là phép biến dỗi ma trªn, chéo hóa ma trªn, và áng dụng.

1. Phương pháp nghiên cfíu

Thu thªp các bài báo khoa học và tài li»u của các tác giả nghiȇn cáu liȇn quan dến phép biến dỗi ma trªn, chéo hóa ma trªn, lực dàn hồi của h» thống lò xo.

Tham gia các buỗi seminar của thầy hmớng dấn dễ trao dỗi các kết quả dang nghiȇn cáu. Trao dỗi email với các chuyȇn gia về các áng dụng của ma trªn trong giải toán và vªt lý.

1. Dóng góp của đề tài
2. Cấu trúc luªn văn

Ngoài phần mở dầu, kết luªn, luªn văn gồm có hai chmơng: Chmơng 1 trình bày m®t số kiến thác về ma trªn..

Chmơng 2 trình bày m®t số áng dụng của ma trªn.

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN B±

• 1. MA TRŠN

Khi ta có m × n số ta có thễ xếp thành m®t bảng chǎ nhªt cháa m hàng n c®t. M®t bảng số nhm thế gọi là m®t ma trªn.

Dịnh nghĩa 1.1. M®t bảng số chũ nh¾t có m hàng n c®t.

 

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n

A =   , gọi là ma tr¾n cỡ m × n.

… … … …

am1 am2 … amn

a_ij là phần tủ của ma tr¾n A nằm ở giao diểm của hàng i

c®t j.

CÁC PHÉP TOÁN CỦA MA TRŠN

• • 1. Cộng ma trªn
    2. Nhân ma trªn vďi một số thfic
    3. Phép nhân hai ma trªn

D±NH THỨC

• • 1. Hoán vị
    2. Nghịch thế
    3. Dịnh thfíc
    4. Dịnh thfíc Gram

Dịnh nghĩa 1.2. Cho không gian vectơ Euclide n — chiều

V ⁿ cho h» vectơ {→—u ₁, →—u ₂, …, →—u _m} Xét ma tr¾n tạo bởi các tích

E

vô huớng của h» vectơ trên:

 →—u 1.→—u 1 →—u 1.→—u 2 … →—u 1.→—u m 

→—

→—

→—

→—

→—

→—

Gr(—u , —u , …, —u ) = u 2. u 1 u 2. u 2 … u 2. u m 

→—u m.→—u 1

→—u _m.→—u ₂ …

→—u m.→—u m

(m)

→1 →2 →m 

… … … …

Ma tr¾n trên gọi là ma tr¾n Eram của h» vectơ

{→—u ₁, →—u ₂, …, →—u _m}.

Eọi (a_1i, a_2i, …, a_ni) là tọa d® của vectơ →—u _i; ∀i = 1, m trong

m®t cơ sở trüc chuẫn nào dó của V ⁿ. Xét ma tr¾n:

E

a11 a12 … a1m a21 a22 … a2m





A = … … … …

an1 an2 … anm



(n×m)



MA TRŠN NGH±CH DẢO

Dịnh lj 1.1 (Dịnh lí tồn tại ma trªn khả dảo ).

HẠNG CỦA MA TRŠN

Dịnh nghĩa 1.3. Hạng của ma tr¾n A là cấp cao nhất của tất cả các d$nh thúc con khác 0 của ma tr¾n A.

Ký hi»u: hạng của ma tr¾n A là r(A).

H› PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

• • 1. Các định nghĩa
    2. H» Cramer

Dịnh lj 1.2 (Qui tắc Cramer). H» Cramer có 1 nghi»m duy nhất (hay h» Cramer là h» xác d$nh) nghi»m của nó duợc xác d$nh

nhu sau:

x₁ D₁

 

 

x₂ D₂

1

D

X = x3  = D3 





hay x_i = ^Di , i = 1, n.

 .  .

x_n

D_n

• • 1. Các định lj về nghi»m của h» phương trình tuyến tính

D

Dịnh lj 1.3 (Dịnh lý tồn tại nghi»m hay dịnh lý Kronecker Capeli).

TR± RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

Dịnh nghĩa 1.4. Cho không gian vectơ E trên truờng T và f là phép biến dổi tuyến tính trên E. Ta gọi tr$ riêng của f là m®t vô huớng λ ∈ T nếu tồn tại vectơ x /= 0 của E thỏa mãn:

f (x) = λx.

Đồng thời khi dó vectơ x gọi là vectơ riêng của phép biến dổi tuyến tính f úng với tr$ riêng λ.

• • 1. Ma trªn đ°c trưng, đa thfíc đ°c trưng

Dịnh lj 1.4. Cho f là phép biến dổi tuyến tính trên không gian vectơ n – chiều E trên truờng T và A là ma tr¾n của f (theo 1 cơ sở nào dó của E). Điều ki»n cần và dủ dể λ ∈ T là tr$ riêng của f là det(A — λE) = 0.

• • 1. Cách tìm trị riêng và vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính f
    2. Không gian đ°c trưng
    3. Chéo hóa ma trªn vuông cấp n

Dịnh nghĩa 1.5 (Ma trªn dồng dạng).

Dịnh lj 1.5. Ma tr¾n vuông cấp n A dồng dạng với ma tr¾n chéo nếu và chỉ nếu A có n vectơ riêng d®c l¾p tuyến tính x₁, · · · , x_n. Trong truờng hợp này nếu d¾t

P = [x₁, x₂, · · · , x_n]

thì

P ^—1AP = diag(λ₁, λ₂, · · · , λ_n),

trong dó λ₁, λ₂, · · · , λ_n là các tr$ riêng của ma tr¾n A (không nhất thiết phải khác bi»t) tuơng úng với các vectơ riêng x₁, x₂, · · · , x_n.

Dịnh lj 1.6. Nếu ma tr¾n vuông cấp n có n tr$ riêng khác bi»t thì có thể chéo hóa.

Khi m®t ma trªn vuȏng khȏng chéo hóa dmợc, thì có thễ nó tam giác hóa dmợc.

• • 1. Tam giác hóa

E chỉ m®t K – khȏng gian vectơ hǎu hạn chiều với số chiều là n, n ≥ 1.

Dịnh nghĩa 1.6.

1. Eiả sủ phép biến dổi tuyến tính f trên không gian vectơ n— chiều E (f ∈ ζ(E)). Ta nói rằng f tam giác hóa duợc khi và chỉ khi tồn tại m®t cơ sở {e₁, e₂, · · · , e_n} của E sao cho ma tr¾n của phép biến dổi tuyến tính f úng với cơ sở này là ma tr¾n tam giác.
2. Eiả sủ A là ma tr¾n vuông cấp n (A ∈ M_n(K)). Ta nói rằng A tam giác hóa duợc khi và chỉ khi tồn tại m®t ma tr¾n tam giác T (ma tr¾n vuông cấp n) dồng dạng với A.

Dịnh lj 1.7.

1. Eiả sủ (A ∈ M_n(K)). Hai tính chất sau dây là tuơng duơng:
   1. A là tam giác hóa duợc.
   2. Đa thúc d¾c trung của A tách duợc trên K.
2. Eiả sủ (f ∈ ζ(E)). Hai tính chất sau dây là tuơng duơng:
   1. f tam giác hóa duợc.
   2. Đa thúc d¾c trung của ma tr¾n của f tách duợc trên K.

LIÊN HỆ:

SĐT+ZALO: 0935568275

F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN 2015\TOAN SO CAP\PHAN THI XUAN TRANG

MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG