Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán bậc trung học
Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Việc giải phương trình hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời của giải tích. Nhu cầu giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học hoặc của các ngành khoa học khác.
Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán ở các trường THPT chuyên. Trong các kì thi olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn còn biết rất ít các phương pháp để giải các phương trình hàm. Đặc biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và ứng dụng của nó.
Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến…
Bài toán phương trình hàm thường xuất hiện trong các cuộc thi toán học. Để giải nó ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ năng.
Trong toán học hiện đại, nó đóng vai trò quan trọng để giải quyết các vấn đề liên quan. Phương trình hàm ứng dụng nhiều trong chương trình phổ thông, chương trình học sinh giỏi toán.
Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Các phương trình hàm hai biến và ứng dụng trong giải toán bậc trung học”.
- Mục đích nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu ứng dụng của phương trình hàm hai biến giải toán bậc trung học.
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm hai biến.
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết và hệ thống các bài toán liên quan đến phương trình hàm hai biến và vận dụng để giải các bài toán phương trình hàm ở chương trình bậc trung hoc.
– Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm hai biến và ứng dụng.
– Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm.
– Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm hai biến nhằm xây dựng một hệ thống lý thuyết về các phương trình hàm hai biến.
– Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số bài toán, ví dụ minh hoạ và có chọn lọc nhằm làm cho vấn đề được sáng tỏ.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:
– Chương 1: Các khái niệm cơ bản về phương trình hàm.
– Chương 2: Các phương trình hàm hai biến.
– Chương 3: Các ứng dụng của phương trình hàm trong giải toán bậc trung học.
CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Trong đại số ở trường phổ thông trung học, chúng ta tìm hiểu về phương trình đại số liên quan đến một hoặc nhiều ẩn là các số thực chưa biết. Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại số, tuy nhiên ẩn của nó là một hoặc nhiều hàm số. Bài toán về phương trình hàm xuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi toán. Vì vậy, luận văn này sẽ nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề liên quan đến phương trình hàm ở bậc phổ thông trung học. Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học.
. Nicole Oresme (1323 – 1382)
Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng. Năm 1348, Nicole Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của Châu Âu. Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp. Ông là nhà khoa học lớn nhất ở thế kỉ XIV. Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều không tưởng.
Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm.Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số 
thỏa mãn với mọi 
, đôi một phân biệt, phương trình hàm như sau:
Và Nicole Oresme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là: 
với 
là hằng số.
. Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667)
Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm đã được biết đến nhiều hơn nhưng lại không có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm lúc đó. Trong số nhà toán học lớn có nhà toán học Gregory of Saint – Vincent, người đi đầu về lý thuyết Logarithm và đã tìm ra được hàm hypebol trong phương trình hàm: 
.
Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường 
ông đã kí hiệu diện tích đó là 
và chứng tỏ 
thỏa mãn phương trình hàm:
Ngày nay thì ta đã biết đó là hàm 
với 
Tuy nhiên, việc giải và tìm ra nghiệm của phương trình hàm 
thì phải đến 200 năm sau mới tìm được nhờ công của Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885).
. Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885)
Augustin – Louis Cauchy được sinh ra tại Paris năm 1789. Khi Cauchy được 10 tuổi thì bố ông đã đem cả gia đình về quê sống ẩn dật cho đến năm 1800. Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm của Parthenon. Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp và thơ La Tinh.
Mặc dù định nghĩa của Nicole Oresme về tuyến tính có thể được hiểu như là một ví dụ đầu tiên về một phương trình hàm, nó không đại diện cho một điểm khởi đầu cho lý thuyết về phương trình hàm. Các chủ đề của phương trình hàm được đánh dấu một cách chính xác hơn từ công việc của Augustin – Louis Cauchy. Một trong những phương trình hàm nổi tiếng mà ta hay gọi là phương trình Cauchy có dạng:
(1.2)
Nghiệm của phương trình (1.2) có dạng: 
. Jean d’Alembert (1717 – 1783)
Jean d’Alembert sinh năm 1717 ở Paris, ông là con ngoài giá thú của một sĩ quan quân đội và một nhà văn. Ông được sinh ra khi cha ông đang ở nước ngoài, vì sợ ảnh hưởng đến tiếng tăm của mình, mẹ ông đã để ông trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint – Jean – leRond. Theo tục lệ, ông được đặt tên là Jean le Rond. Năm 1738, Jean le Rond vào trường luật, ông lấy tên Daremberg. Sau đó ông đã đổi thành d’Alembert. Năm 1741, nhờ nỗ lực của mình, d’Alembert vào Viện Hàn lâm Khoa học Pháp như trợ lý thiên văn học.Năm 1746, d’Alembert được thăng chức Phó Uỷ viên của Hội đồng toán học.
Trong lịch sử, Jean d’Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy. Tuy nhiên, trong vấn đề về phương trình hàm, nó có vẻ tự nhiên hơn khi xem xét đóng góp của ông sau Cauchy. Khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo quy tắc hình bình hành, ông đã xét phương trình:
(1.3)
với 
Phương trình (1.3) bây giờ được gọi là phương trình d’Alembert.
Vào năm 1821, Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện 
là hàm liên tục và được nghiệm là: 
, 
hoặc 
ĐỊNH NGHĨA
1.2.1. Định nghĩa
Phương trình hàm là phương trình mà ẩn của nó là các hàm số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước.
Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính:
– Miền xác định và miền giá trị.
– Phương trình hàm.
– Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,…).
1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Xác định các hàm số 
thỏa mãn điều kiện :
Đáp số: 
, 
là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2.
Ví dụ 2: Tìm hàm số 
biết : 
Đáp số: 
Ví dụ 3: Tìm tất cả các hàm 
thỏa mãn:
Đáp số: 
, 
hoặc 
Ví dụ 4: Tìm tất cả các hàm 
thỏa mãn:
Đáp số: 
là hằng số tùy ý với 
là nghiệm của phương trình: 
Ví dụ 5: Tìm tất cả các hàm 
thỏa mãn:
Đáp số: 
hoặc 
Ví dụ 6: Tìm tất cả các hàm số 
thỏa mãn :
Đáp số: 
Ví dụ 7: Tìm tất cả các hàm số 
thỏa mãn:
Đáp số :
SỰ TỒN TẠI VA DUY NHẤT NGHIỆM
Chúng ta luôn quan tâm rằng với các điều kiện nào đó mỗi phương trình hàm chỉ có một nghiệm duy nhất. Thông thường mỗi phương trình hàm có thề có rất nhiều nghiệm.
Ví dụ xét phương trình hàm sau: 
. Chúng ta có thể có nhiều lời giải cho bài toán này. Cụ thể là chúng ta xây dựng nghiệm vô hạn như sau, cho 
là hàm liên tục được xác định trên nửa khoảng 
. Lấy 
, trong đó 
là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng 
Khi đó, ta thấy hàm 
thỏa mãn phương trình trên bởi vì 
. Tương tự, ta có phương trình 
cũng có nghiệm vô hạn mà một trong số nghiệm đó là 
. Và chúng ta có thể chứng minh được là 
sẽ vô nghiệm nếu 
là hàm liên tục.
Trong giải các phương trình hàm, có rất nhiều nghiệm xuất hiện bằng cách lấy đạo hàm. Điều quan trọng là chúng ta phải thử vào phương trình ban đầu và kiểm tra lại. Nếu phép lấy đạo hàm chỉ ra có duy nhất một hàm số có thể là nghiệm thì hàm số đó chưa hẳn là nghiệm của phương trình ban đầu. Mặt khác chúng ta nên tìm một hướng giải độc lập với cách giải ban đầu cho đến khi tìm ra nghiệm hoàn toàn.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các hàm số 
, sao cho:
với 
Đáp số: 
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 9: Tìm tất cả các hàm số 
thỏa mãn điều kiện :
Đáp số: 
Ví dụ 10: Tìm tất cả các hàm số 
thỏa mãn điều kiện:
Đáp số: 
là nghiệm duy nhất của bài toán.
CHƯƠNG 2
GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN
. PHƯƠNG TRÌNH CAUCHY
. Phương trình Cauchy
Phương trình Cauchy là phương trình có dạng:
và 
là một hàm liên tục.
Mệnh đề 2.1. Cho 
thỏa mãn phương trình Cauchy:
Khi đó 
Mệnh đề 2.2. Giả sử 
và 
là hai hàm liên tục sao cho 
với mọi 
là số hữu tỉ. Khi đó 
với mọi 
là số thực.
Định lý 2.3. Cho 
là hàm liên tục thỏa mãn phương trình Cauchy: 
Khi đó 
a sao cho 
với mọi 
là số thực.
Định lý 2.4. Cho 
thỏa mãn phương trình Cauchy. Giả sử 
sao cho 
bị chặn dưới trên đoạn 
nghĩa là tồn tại một số thực 
sao cho 
với mọi 
. Khi đó tồn tại một số thực 
sao cho 
với mọi là số thực.
Mệnh đề 2.6. Giả sử 
thỏa mãn cả hai phương trình
Khi đó 
hay 
. Các bài toán về phương trình Cauchy
Bài toán 1. Xác định tất cả các hàm số 
liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện: 
Đáp số:
với 
Bài toán 2. Cho hàm 
thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng : 
Đáp số: 
Bài toán 3. Cho hàm 
liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: 
Đáp số:
Bài toán 4. Tìm các hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện: 
Đáp số: 
hoặc 
. PHƯƠNG TRÌNH JENSEN
. Phương trình Jensen
Phương trình Jensen là phương trình có dạng:
Phương trình này chính là phương trình Cauchy cho trung bình cộng.
. Các bài toán về phương trình Jensen
Bài toán 5. Tìm tất cả các hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện:
Đáp số:
Bài toán 6. Tìm hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện: 
Đáp số: 
Bài toán 7. Tìm tất cả các hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện:
Đáp số: 
Bài toán 8. Xác định các hàm số 
liên tục trên 
và thỏa mãn điều kiện:
Đáp số: 
với 
. PHƯƠNG TRÌNH PEXIDER
. Phương trình Pexider
Phương trình Pexider là phương trình có dạng:
Ta cần tìm tất cả các hàm liên tục 
thỏa mãn phương trình với mọi số thực 
.
Nghiệm của phương trình Pexider là :
trong đó 
.
. Các bài toán về phương trình Pexider
Bài toán 9. Tìm tất cả các hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện: 
.
Đáp số: 
Bài toán 10. Tìm tất cả các hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện:
Đáp số:
hoặc 
hoặc 
. PHƯƠNG TRÌNH VINCZE
. Phương trình Vincze
Phương trình được xem xét tiếp theo là dạng tổng quát của phương trình Pexider. Giả sử ta cần tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
Với điều kiện hàm 
và 
liên tục.
Và nghiệm của phương trình là: 
trong đó 
và 
.
. Các bài toán về phương trình Vincze
Bài toán 11. Tìm tất cả các hàm số 
xác định và liên tục trên 
sao cho: 
.
Đáp số:
hoặc 
Bài toán 12. Tìm tất cả các hàm số 
xác định và liên tục ttrên 
sao cho:
Đáp số:
với 
Hoặc
với 
. PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN
. Phương trình hàm hai biến
Một cách khác để mở rộng phương trình Cauchy là xét phương trình có hai hay nhiều biến. Trong trường hợp này, ta xét phương trình có hai biến số.
Giả thiết 
là hàm số thực có hai biến số 
thỏa mãn
. Các bài toán về phương trình hàm hai biến
Bài toán 13. Tìm tất cả các hàm số 
thỏa mãn các điều kiện sau:
và 
Đáp số: 
Bài toán 14. Tìm tất cả các hàm 
xác định và liên tục trên 
thỏa mãn điều kiện: 
và
Đáp số: 
. PHƯƠNG TRÌNH EULER
. Phương trình Euler
Cho 
là một số thực bất kỳ, với 
cho trước, phương trình
.
được gọi là phương trình Euler. Hàm 
thỏa mãn phương trình Euler được gọi là hàm thuần nhất bật 
.
. Các bài toán về phương trình Euler
Bài toán 15: Cho hàm 
thỏa điều kiện:
Tìm 
.
Đáp số: 
.
. PHƯƠNG TRÌNH D’ALEMBERT
. Phương trình D’Alembert
Phương trình D’Alembert có dạng:
Giả thiết 
là hàm liên tục và 
với mọi số thực 
trong khoảng đóng 
+ Trường hợp thứ nhất: 
Nghiệm của phương trình là:
với mọi số thực 
+ Trường hợp thứ hai: 
Nghiệm của phương trình là:
với mọi số thực
. Các bài toán về phương trình D’alembert
Bài toán 16: Cho 
tìm các hàm 
liên tục trên 
và thỏa mãn điều kiện:
Đáp số: 
và 
CHƯƠNG 3
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRONG GIẢI TOÁN BẬC TRUNG HỌC
3.1. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
Đôi khi có những vấn đề khá phức tạp nhưng lại có thể giải quyết khá đơn giản. Ví dụ, giải phương trình: 
với 
(3.1) (3.1)
Ta thấy rằng trong phương trình vừa nêu trên nếu 
tăng thì nó tăng chậm, bởi vì bình phương của 
chỉ làm cho 
tăng lên một!. Do 
nên ta có thể đặt 
với 
, khi đó 
. Đặt 
với 
. Tương đương với 
với 
. Lúc đó, phương trình (3.1) trở thành:
(3.2) (3.2)
Phương trình này nhắc cho ta nhớ về tính chất của một hàm số logarit. Dễ thấy hàm số 
thỏa mãn phương trình ( 3.2).
Vậy 
với 
(3.3)
là một nghiệm của bài toán.
Phương pháp vừa được sử dụng là được gọi là phương pháp tuyến tính hóa (phương trình (3.2) có dạng tuyến tính hóa). Phương pháp này thường được sử dụng để biến một phương trình hàm phức tạp trở nên đơn giản và dễ giải hơn.
Bài toán 17:Tìm hàm số 
thỏa mãn điều kiện:
Đáp số: 
Bài toán 18: Có tồn tại hàm số 
và 
thỏa mãn: 
và 
Với mọi 
thuộc 
hay không?
Đáp số: 
và 
. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP
Một số dạng đặc biệt của phương trình liên hợp.
Phương trình có dạng: 
được gọi là phương trình Schroder.
Một loại phương trình ngược của phương trình Schroder là phương trình sau: 
và được gọi là phương trình Poincaré.
Phương trình: 
được gọi là phương trình Abel với 
cho trước hoặc được xác định cùng hàm số 
.
Phương trình: 
với 
được gọi là phương trình Bottcher.
Một loại phương trình đáng chú ý khác là phương trình giao hoán có dạng:
(3.18)
Tất cả các phương trình mà ta xét ở trên đều là trường hợp đặc biệt của một họ các phương trình mà ta gọi là phương trình liên hợp, có dạng: 
với việc chọn các hàm số 
và 
phù hợp.
Ví dụ: Khi 
ta có phương trình Schroder.
Khi 
ta có phương trình Poincaré.
Khi 
ta có phương trình Abel.
Khi 
ta có phương trình Bottcher.
Khi 
ta có phương trình giao hoán.
Không thể giải các phương trình liên hợp một cách tổng quát mà ta sẽ tìm lời giải trong một vài trường hợp đặc biệt của phương trình loại này.
. THUẬT TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRINH BOTTCHER
Nếu 
là một nghiệm bất kì của phương trình Bottcher thì hàm số 
cũng là nghiệm. Phương trình Bottcher có thể là một cách tự nhiên cho việc trình bày một cách có hệ thống một phương trình tuyến tính khi hàm số 
xấp xỉ một hàm lũy thừa.
Một nghiệm của phương trình Bottcher được tìm ra nếu giới hạn 
tồn tại. Ta có thể kiểm tra bằng cách thay vào phương trình 
. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM LIÊN TỤC.
. Phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số
Nội dung phương pháp:
Đối với hàm số liên tục chúng ta thường sử dụng tính chất:
Nếu 
là hàm số liên tục thì 
( 
: miền xác định của 
và 
đóng)
Nếu 
thì 
bị chặn trên đoạn 
.
Nếu 
liên tục và đơn ánh thì 
là hàm đơn điệu.
Trong loại bài toán này cũng hay áp dụng nếu ta cần chứng minh hàm đó là hàm hằng thì chứng tỏ nó là hàm hằng trên một dãy số, rồi sử dụng tính liên tục để suy ra nó là hằng số trên toàn bộ tập hợp.
Bài toán 19: Tìm tất cả các hàm số 
liên tục trên 
và thỏa mãn: 
Lời giải: 
.
Bài toán 20: Tìm các hàm hàm số 
liên tục trên thỏa mãn điều kiện: 
Đáp số:
, với 
là hằng số thỏa mãn đề bài.
Bài toán 21: Tìm tất cả các hàm hàm số 
liên tục trên thỏa mãn điều kiện: 
Đáp số:
.
Bài toán 22: Tìm tất cả các hàm 
liên tục và thỏa mãn điều kiện: 
Đáp số: 
. Phương pháp chuyển qua giới hạn
Nội dung phương pháp:
Đối với một số phương trình hàm có kèm theo giả thiết là hàm số liên tục, thì trong nhiều trường hợp bằng cách xây dựng một dãy số hợp lí và sử dụng phương pháp chuyển qua giới hạn, ta sẽ tìm được hàm 
. Phương pháp này được thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lấy 
là một giá trị thuộc tập xác định của hàm số. Xây dựng dãy số 
thích hợp với 
thỏa mãn:
- Hàm
không đổi trên dãy 
. - Dãy
hội tụ về 
, nghĩa là 
.
Bước 2: Sử dụng tính liên tục của 
ta có:
.
Do 
tùy ý nên suy ra: 
Bài toán 23: Tìm hàm số 
liên tục, thỏa mãn:
Đáp số: 
.
Bài toán 24: Tìm hàm 
số liên tục tại 
thỏa mãn:
và 
.
Đáp số: 
.
. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM KHẢ VI
Phương pháp sử dụng đạo hàm
Nội dung phương pháp:
Phương pháp sử dụng các tính của đạo hàm thường được sử dụng đối với hàm khả vi hoặc liên tục. Khi đó bằng các kỹ thuật biến đổi, ta quy phương trình hàm đã cho về dạng thích hợp. Khi đó nhờ các tính chất của đạo hàm ta tìm được hàm số cần tìm.
Chúng ta hãy xem một số bài toán sau đề thấy rõ phương pháp hơn.
Bài toán 25:Tìm các hàm số khả vi 
thỏa mãn đồng nhất thức:
Đáp số: 
với 
.
Bài toán 26: Tìm hàm số 
xác định và khả đạo thỏa mãn điều kiện : 
Đáp số: 
hay 
Bài toán 27: Tìm hàm số 
khả vi thỏa mãn với mọi 
: 
Đáp số: 
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách khái quát lịch sử phát triển của phương trình hàm nói riêng trong sự phát triển chung của Toán học.
Luận văn khảo sát về các phương trình hàm hai biến, đây là phương trình hàm có tầm quan trọng trong các cuộc thi Toán học. Việc khảo sát phương trình hàm này dựa trên việc nghiên cứu về các phương trình Cauchy, phương trình Pexider, phương trình Vincze, phương trình hàm hai biến, phương trình Euler và phương trình D’Alambert.
Luận văn cho ta thấy được sự liên kết của các phương trình hàm hai biến. Những kết quả trong luận văn đó là dựa trên cơ sở lý thuyết của các phương trình hàm, đưa ra các bài toán mang tính chất vận dụng phù hợp.
Ngoài ra, luận văn còn cung cấp một số phương pháp giải phương trình hai biến cơ bản và ứng dụng nhiều trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
Trong điều kiện thời gian và khuôn khổ của luận văn, tôi chưa nghiên cứu sâu về các phương pháp giải phương trình hàm hai biến mà chỉ đề ra phương pháp mang tính chất tổng quát chứ chưa cụ thể.
E:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN 2014\LUAN VAN (Phan Thi Hoang Linh)\LUAN VAN IN BAO VE
