Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán THPT

Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán THPT

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích,việc nắm vững các công thức, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm sẽ giúp chúng ta tìm ra những hướng giải quyết một số vấn đề của toán học một cách mới lạ và độc đáo.

Ở bậc Trung học phổ thông, việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chứng minh các bất đẳng thức thường hay dùng một số phương pháp giải như: biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, phương pháp hình học,… Trong việc giải quyết các vấn đề nêu trên thì việc sử dụng phương pháp đạo hàm tỏ ra hiệu quả và đơn giản hơn.

Nội dung các bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm rất gần với thực tế và việc lý luận để giải các bài toán này luôn đem lại sự hấp dẫn, lý thú và đầy bất ngờ. Điều này thu hút sự quan tâm ngày càng nhiều của các học sinh giỏi toán và là các chủ đề trong chương trình bồi dưỡng học sinh tham gia các kỳ thi Olympic và quốc gia. Vì vậy, ứng dụng đạo hàm trong giải toán THPT chứa đựng nhiều tiềm năng lớn có thể khai thác để bồi dưỡng cho học sinh khá và giỏi. Các bài toán được vận dụng đạo hàm để giải quyết ngày càng xuất hiện nhiều trong các đề thi Đại học, Cao đẳng.

Với thực trạng đã nêu trên, và được sự gợi ý của thầy giáo Lê Hải Trung, tôi lựa chọn đề tài “Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán THPT” cho luận văn thạc sĩ của mình.

1. Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong giải toán THPT, xem xét một lớp bài tập giải bằng phương pháp đạo hàm và bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán ở phổ thông.

1. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc các chuyên ngành: Giải tích, Đại số…

1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Nghiên cứu về đạo hàm của hàm số một biến và ứng dụng.
• Nghiên cứu về các ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán trong chương trình THPT.

1. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được chia thành 2 chương.

Chương 1. Kiến thức cơ sở

Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về đạo hàm cùng các quy tắc tính đạo hàm, các định lý trung bình, … để làm tiền đề cho chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [6], [8], [9],…

Chương 2. Ứng dụng đạo hàm trong giải toán trung học phổ thông

Chương này trình bày ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán trong chương trình THPT. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [5], [10], [11],…

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

• 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số xác định trên tập và điểm . Gọi sao cho . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

(1.1)

thìđược gọi là đạo hàm của hàm số tại điểmvà kí hiệuhoặc , khi đó:

. (1.2)

Định nghĩa 1.2.  Hàm số  gọi là có đạo hàm trên đoạn nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn

Nhận xét 1.1. Đạo hàm của hàm số tại điểm (nếu có) là một hằng số.

Nhận xét 1.2. Hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại .

Tính chất 1.1.

1. (là hằng số); .
2. (x ≠ 0), (x > 0 ).
3. .
4. , (x > 0 ).
5. ( x > 0, 0 < a ≠ 1).
6. .
7. .
8. .
   1. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Ý nghĩa 1.1. Đạo hàm của hàm sốtại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm .

Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là:

• 1. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Định lý 1.1. Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên thì hàm số và cũng có đạo hàm trên J, và:

(1.6)

Hệ quả 1.1. Có thể mở rộng công thức trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số như sau: Nếu các hàm số có đạo hàm trên J thì ta có:

(1.8)

Định lý 1.2. Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số cũng có đạo hàm trên J, và

(1.9)

Đặc biệt, nếu k là hằng số thì: (1.10)

Định lý 1.3. Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J, và:

(1.12)

Hệ quả 1.2. Nếu hàm là hằng số thì ta có:

(1.14)

Định lý 1.4. Xét hàm số hợp . Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm , và:

. (1.16)

Định lý 1.5. Nếu hàm số có đạo hàm tại vàvà nếu có hàm ngược liên tục tại , thì hàm ngược có đạo hàm tại , và: . (1.18)

Định nghĩa 1.3. Giả sử có đạo hàm tại mọi x thuộc một khoảng nào đấy. Khi đó là một hàm số xác định trên khoảng đó.

Nếu hàm số có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp hai của , kí hiệu là . Tức là: .

Nếu hàm số có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm cấp ba của , kí hiệu là . Tức là: .

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đạo hàm cấp n. Đạo hàm cấp n của kí hiệu là: .

Vậy: . (1.19)

• 1. CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH

Cho xác định trên D là tập mở chứa .

Định nghĩa 1.4. là điểm cực đại địa phương của f nếu là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là:

Khái niệm cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự.

Tính chất 1.2. Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được gọi chung là cực trị địa phương.

Định nghĩa 1.5. là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếuđiểm cao nhất của f trên D, nghĩa là:

Khái niệm cực tiểu toàn cục cũng được định nghĩa tương tự.

Định lý 1.7. (định lý Fermat) Cho hàm số f xác định trên khoảng (a, b). Nếu hàm sốđạt cực trị địa phương tại c và tồn tại thì

Định lý 1.8. (định lý Rolle) Nếu liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trong khoảng (a, b) và thì tồn tại sao cho .

Hệ quả 1.3. Nếu hàm số có đạo hàm trên (a, b) và có n nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a, b) thì có ít nhất (n – 1) nghiệm trên (a, b).

Hệ quả 1.4. Nếu hàm số có đạo hàm trên (a, b) và vô nghiệm trên

(a, b) thì có nhiều nhất một nghiệm trên (a, b).

Hệ quả 1.5. Nếu hàm số có đạo hàm trên (a, b) và có nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a, b) thì có nhiều nhất (n + 1) nghiệm trên (a, b).

Định lý 1.9. (định lý Lagrange). Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn tại sao cho

f(b) – f(a) = hay .

Ý nghĩa 1.2. Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số thỏa điều kiện của định lý Lagrange trên [a, b]. Trong đó điểm A (a, f(a)), B (b, f(b)), khi đó trên cung AB phải có ít nhất một điểm C(c, f(c)) có hoành độ sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại C song song với đường thẳng AB.

Định lý 1.10. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng (a,b).

Nếu thì đồng biến trên (a, b).

Nếu thì nghịch biến trên (a, b).

Nếu thì là hàm hằng trên (a, b).

Định lý 1.11. (định lý Cauchy). Nếu và là hai hàm số liên tục trên [a, b], và có đạo hàm trên (a, b) và tại mọi thì tồn tại sao cho:

(1.21)

Định lý Lagrange là hệ quả của định lý Cauchy (trong trường hợp g(x) = x).

Định lý 1.12. (định lý về dấu của tam thức bậc hai) Cho hàm số:

+ Nếu Δ < 0 thì luôn cùng dấu với a.

+ Nếu Δ = 0 thì luôn cùng dấu với a (trừ )

+ Nếu Δ > 0 thì có hai nghiệmvà trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a.

Định lý 1.13. (Định lý Viet). Cho phương trình:

có 2 nghiệm là .Ta có hệ thức:

(1.22)

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN THPT

• 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG VÀ TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC

Nhờ đạo hàm ta có thể tính được một số tổng (hoặc chứng minh đẳng thức) mà các số hạng thường có dạng .

Đối với đa thức , ta dễ thấy:

(2.1)

trong đó quy ước đạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số f(x), và (2.2)

Nhận xét 2.1. Khi trong tổng có một phần hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng hoặc thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể:

Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên theo x ta được:

Đến đây thay x, a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.

Khi trong tổng có một thành phần hệ số đứng trước tổ hợp có dạng là tích của hai số nguyên dương liên tiếp, tức là 1.2, 2.3, …, (n – 1)n hay hay 1², 2², …, n² (không kể dấu) tức có dạng hay tổng quát hơn thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Cụ thể, với đa thức: đạo hàm hai vế phương trình trên theo x ta được:

Đạo hàm biểu thức lần nữa ta nhận được:

Đến đây ta gần như giải quyết xong, chỉ việc thay a, b, x bởi các hằng số thích hợp.

Ví dụ 2.1. Cho đa thức

1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong đa thức.
2. Tính tổng tất cả các hệ số bậc lẻ trong đa thức.
3. Tính tổng các hệ số bậc lớn hơn hoặc bằng 2 trong đa thức.

Ví dụ 2.3. Tính tổng :

• 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIỚI HẠN

Dựa vào định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm và các tính chất của đạo hàm ta có thể tính được một số giới hạn ở dạng vô định.

Định lý 2.1 (định lý L’Hospital). Nếu các hàm f(x) và g(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x₀ và, , khi đó:

. (2.11)

Ứng dụng đạo hàm tìm giới hạn ta còn gọi là phương pháp L’Hospital, áp dụng cho các bài toán tìm giới hạn dạng .

Ví dụ 2.5. Tính giới hạn .

Ví dụ 2.6. Tính giới hạn .

Nhận xét 2.2. Ví dụ 2.6 thuộc dạng chứa hai loại căn thức không đồng bậc, do đó giải quyết vấn đề bài toán ta cần thêm bớt số hạng hợp lí để tách thành tổng hai giới hạn, mà mỗi giới hạn chỉ còn một loại căn thức. Để tính tiếp bằng cách nhân lượng liên hợp hoặc sử dụng phương pháp L’Hospital ở ví dụ 2.4, 2.5.

Ví dụ 2.7. Tính giới hạn .

Nhận xét 2.3. Do cả tử và mẫu cùng chứa căn thức nên ta chia cả tử và mẫu cho x – x₀, ta biến đổi làm xuất hiện dạng (1.2), sau đó sử dụng phương pháp L’Hospital để tìm giới hạn.

Ví dụ 2.8. Tính giới hạn

Nhận xét 2.4. Các giới hạn liên quan đến lượng giác, ta dùng kết quả:

.

Đưa giới hạn về dạng (1.2) với y = f(x) là một hàm lượng giác nào đó.

• 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số (C) xác định trên khoảng J.

• • 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .

Phương trình tiếp tuyến có dạng: (2.12) với là hệ số góc của tiếp tuyến.

Ví dụ 2.9. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2x – 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

1. Tại điểm M(0, – 5)
2. Tại điểm có hoành độ x = 1.
3. Tại điểm có tung độ y = – 5.

Ví dụ 2.10. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2x – 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

1. Tiếp tuyến có hệ số góc k = 11.
2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 26x + 3.
3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = – x + 5.
   • 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x_A, y_A) cho trước.

Cách 1. Gọi M(x₀, y₀) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

Tiếp tuyến đi qua A nên ta thay tọa độ của A vào phương trình tiếp tuyến (2.4) tìm (x₀, y₀). Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến.

Cách 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A có hệ số góc là k:

y = k(x – x₀) + y­₀

(d) tiếp xúc (C) có nghiệm.

Ví dụ 2.11. Cho hàm số : (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua .

Ví dụ 2.13. Cho hàm số , tìm điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .

• 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

LIÊN HỆ:

SĐT+ZALO: 0935568275

F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN 2015\TOAN SO CAP\LUAN VAN (Nguyen Thi Lien)\SAU BAO VE\nguyen thi lien PPTSC.K27