PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD
Hiện nay ở nước ta, trong tính toán kết cấu công trình thường sử dụng hỗn hợp các phương pháp: phương pháp ứng suất cho phép, phương pháp hệ số an toàn và phương pháp trạng thái giới hạn cùng với mô hình thiết kế truyền thống. Theo mô hình thiết kế này tải trọng và độ bền tính toán được mặc định theo các tiêu chuẩn thiết kế hiện hành trong suốt thời gian khai thác của công trình. Nhưng thực tế các hàm tải trọng và độ bền chịu tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật ngẫu nhiên. Vì vậy quan niệm về quan hệ giữa tải trọng và sức chịu tải của công trình trong quá trình làm việc của mô hình thiết kế truyền thống ngày càng trở nên lạc hậu.
Xu hướng tiến bộ hiện nay là thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích độ tin cậy. Thật vậy, chúng giữ vai trò rất quan trọng do tính liên ngành và khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ, kinh doanh và quản lý hiện đại. Các kết cấu công trình xây dựng (nhà xưởng, cầu cống, cảng biển…), trong quá trình sử dụng bình thường, sẽ chịu tác động ngẫu nhiên của các tải trọng động (ví dụ như gió bão, động đất…). Bên cạnh đó, chúng ta cần phải kể đến đồng thời các yếu tố ngẫu nhiên của vật liệu làm kết cấu, của kích thước và của tải trọng tác dụng … Điều này dẫn đến ứng xử đầu ra của kết cấu cũng dao động ngẫu nhiên, và sẽ có một số trường hợp ứng xử đầu ra vượt quá giới hạn cho phép (ngưỡng thiệt hại) được định trước như: chuyển vị vượt quá chuyển vị cho phép, ứng suất vượt quá ứng suất cho phép, v.v. Xác suất các trường hợp ứng xử đầu ra vượt quá giới hạn cho phép được gọi là xác suất không an toàn của kết cấu hay xác suất phá hủy kết cấu. Khi đó, việc xác định xác suất phá hủy của kết cấu khi có sự dao động ngẫu nhiên của các yếu tố đầu vào được gọi là bài toán phân tích độ tin cậy cho kết cấu.
- Mục tiêu nghiên cứu
Mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công suất và phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy theo thời gian của kết cấu chịu tải trọng động.
– Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu chịu tải trọng động ngẫu nhiên phát sinh hàm mật độ phổ công suất PSD.
– Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu chịu tải trọng động.
– Phương pháp lý thuyết:
+ Phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu: Dao động ngẫu nhiên của kết cấu chịu kích động ồn trắng Gauss và chịu tải trọng động (gió, động đất).
+ Các phương pháp phân tích độ tin cậy: Phương pháp mô phỏng Monte – Carlo và phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác suất.
– Phương pháp số: Xây dựng các chương trình trong phần mềm Matlab.
TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN
Hiện nay, phương pháp PTHH là phương pháp cơ bản, hiện đại và rất thông dụng dùng để mô hình hóa công trình. Ý tưởng của phương pháp PTHH thực chất là dựa trên một tập hữu hạn các điểm nút trên công trình với các tọa độ suy rộng định sẵn rồi tìm cách tập trung khối lượng vào các điểm nút và biểu diễn trường chuyển vị của công trình qua các tọa độ suy rộng này một cách hợp lý nhất để cuối cùng xây dựng được một hệ rời rạc mô tả bằng phương trình vi phân thường đối với các tọa độ suy rộng. Sau khi tìm được các véc tơ chuyển vị nút, các đặc trưng và trạng thái ứng suất, biến dạng của công trình tại bất kỳ điểm nào trên công trình đều có thể xác định được.
Hình vẽ 1.5 minh họa cho hệ kết cấu có n tầng (n bậc tự do) chịu tải trọng động đất sau khi rời rạc hóa bằng phương pháp phân tử hữu hạn.
Fn(t)
Fn(t)
F2(t)
F2(t)
F1(t)
F1(t)
Hình 1.5. Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất
Theo lý thuyết động lực học, phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu được biểu diễn như sau:
(1.64)
Trong đó, lần lượt là các véctơ có kích thước thể hiện các đáp ứng chuyển vị, vận tốc, gia tốc theo thời gian (t); là các ma trận có kích thước của khối lượng, cản nhớt, độ cứng; là véc tơ của tải trọng tác động.
Trong trường hợp lực ngoại lực tác động là gia tốc nền của trận động đất, công thức (1.64) sẽ trở thành:
(1.65)
Với i là véctơ đơn vị, thay thế cho chuyển vị đơn vị tại móng so với hướng tác dụng của gia tốc nền; là gia tốc nền.
Trong trường hợp kể đến tính ngẫu nhiên của tải trọng (động đất, gió…) hay tồn tại trong các đặc tính của kết cấu (kích thước, vật liệu…), phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu được biểu diễn như sau:
(1.66)
Nhấn mạnh ở đây rằng, véctơ Z gồmtham số ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) đặc trưng cho tính ngẫu nhiên của tải trọng (F) và của kết cấu (M, C, K).
Tương tự công thức (1.66) được viết lại cho trường hợp kết cấu chịu tác động bởi lực động đất:
(1.67)
Với là véctơ đơn vị, thay thế cho chuyển vị đơn vị tại móng so với hướng tác dụng của gia tốc nền; là gia tốc nền.
Dựa vào công thức (1.66) hoặc (1.67) chúng ta thấy rằng, chuyển vị là một quá trình ngẫu nhiên phụ thuộc vào .
Nhìn chung, dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng, động đất. Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán phân tích dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Do kích động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có tính chất ngẫu nhiên. Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất.
PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG, ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU THEO THỜI GIAN
a) Phương pháp tiếp cận theo miền tần số
b) Phương pháp tiếp cận theo miền thời gian
Xuất phát từ định luật II Newton, chuyển động của hệ cơ học một bậc tự do được mô tả bởi phương trình:
(2.20)
Trong đóvà lần lượt là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc của dao động, m là khối lượng, btt là hệ số cản của lực cản tuyến tính, ktt là hệ số độ cứng của lực đàn hồi tuyến tính, là hàm của các lực cản và đàn hồi phi tuyến, u(t) là kích động ngoài. Đặt ,,và , phương trình (2.20) có thể biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân bậc hai là:
(2.21)
Trong đó có ý nghĩa là tần số dao động tự do của hệ khi.
Khi kích động ngoài là các lực ngẫu nhiên thì phương trình (2.21) gọi là phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong ứng dụng kỹ thuật, do sự thiếu hụt về số liệu đo đạc nên để đơn giản hóa, quá trình kích động ngẫu nhiên thường được giả thiết là ồn trắng Gauss , với là ồn trắng Gauss, là cường độ của kích động. Về cơ bản, phương trình vi phân bậc hai (2.21) có thể được chuyển đổi về hệ phương trình trạng thái bao gồm hai phương trình vi phân bậc nhất.
(2.22)
Phương trình (2.22) gọi là dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito. Hàm mật độ xác suất của đáp ứng của phương trình Ito có thể xác định bằng phương trình FPK dừng [1] với các hệ số dịch chuyển và hệ số khuyếch tán tương ứng là:
(2.23)
Hệ kết cấu sau khi rời rạc hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn có n bậc tự do. Phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu chịu tác động của kích động ngẫu nhiên được biểu diễn như sau:
(2.42)
Trong trường hợp lực kích động ngẫu nhiên là gia tốc nền của trận động đất, công thức (2.42) sẽ trở thành:
(2.43)
Với là véctơ đơn vị, thay thế cho chuyển vị đơn vị tại móng so với hướng tác dụng của gia tốc nền; là gia tốc nền.
Trong giới hạn luận văn này, học viên tập trung nghiên cứu phương pháp phổ biến nhất hiện nay là phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp mới (PDEM) được đề xuất của của các tác giả Li và Chen [12-14], chúng sẽ được trình bày dưới đây.
Phương pháp Monte Carlo là một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến nhất. Ưu điểm của phương pháp này là đơn giản và dễ thực hiện nhưng đòi hỏi số lượng mẫu lớn để đảm bảo độ chính xác.
u2
u1
Hình 2.6. Mô phỏng Monte Carlo
Việc lấy mẫu được thực hiện trong toàn bộ miền không gian, tuân theo phân phối đa chuẩn (Hình 2.6). Tích phân ta được:
(2.44)
Trong đó Pf là xác suất phá hủy là hàm mật độ xác suất chuẩn n – chiều và Df là miền phá hủy xác định bởi H(uk) ≤ 0 (hoặc G(xk) ≤ 0). Bằng cách dùng biến đếm khi phá hủy được xác định bởi:
F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LY LUAN VA PHUONG PHAP DẠY HOC VAT LY\XAY DUNG CONG TRINH DD&DN\LE TAN THANH BINH
