Về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích toán học. Phương trình hàm không chỉ là những đối tượng để nghiên cứu mà bên cạnh đó nó còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực ứng dụng vào các lĩnh vực khác. Chuyên đề phương trình hàm là một trong những phần hay được đưa vào bồi dưỡng cho các học sinh ở các trường trung học phổ thông chuyên. Và các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm cũng thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cũng như các kì thi Olympic toán quốc gia và quốc tế.
Trong những năm gần đây, các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau. Trong đó, vấn đề về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cũng được các nhà toán học đặc biệt quan tâm nghiên cứu. Trong khi nghiên cứu, các nhà khoa học đặt ra câu hỏi: Nếu thay đổi một ít các giả thiết của một định lý thì liệu có thể khẳng định những kết luận của định lý vẫn còn đúng hoặc “đúng xấp xỉ” hay không ? Và mở rộng vấn đề này khi nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy là: Nếu có một sự biến đổi nhỏ trong công thức hay phương trình thì có sự biến đổi nhỏ nào đó trong kết quả tương ứng hay không? Đây là vấn đề mở đầu cho việc nghiên cứu về tính ổn định của một phương trình hàm.
Với những lí do trên và khả năng tìm hiểu, nghiên cứu về vấn đề phương trình hàm tôi chọn đề tài: “Về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Luận văn “ Về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy” nhằm giải thích và khảo sát về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy. Trong đó trình bày định lý của nhà toán học Hyers về tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm mũ Cauchy và ổn định kiểu Ger của phương trình hàm mũ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm Cauchy và ứng dụng, phương trình hàm mũ Cauchy và một số lý thuyết, định lý liên quan đến tính ổn định của phương trình hàm Cauchy. Đồng thời tìm hiểu khái quát về sự ra đời của phương trình hàm.
Phạm vi nghiên cứu: Luận văn chủ yếu đề cập đến phương trình hàm Cauchy và các định lý về tính ổn định của phương trình hàm có liên quan.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp tự nghiên cứu, tìm hiểu, thu thập các tài liệu từ sách tiếng Anh, sách tham khảo, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu và các tài liệu nghiên cứu khác có liên quan đến khảo sát tính ổn định của phương trình hàm Cauchy.
Phương pháp phân tích, tổng hợp các tài liệu và trao đổi với giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.
5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, ba chương và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày tóm tắt vài nét về sự ra đời của phương trình hàm, cơ sở lý thuyết và ứng dụng của phương trình hàm Cauchy.
Chương 2. Trình bày tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính như: dãy Cauchy, định lý Hyers, tổng quát hóa của định lý Hyers.
Chương 3. Trình bày tính ổn định của phương trình hàm mũ Cauchy như: phương trình hàm mũ, phương trình hàm Cauchy nhân tính, ổn định kiểu Ger của phương trình hàm mũ.
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
CHƯƠNG 1
LỊCH SỬ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Trong sự phát triển chung của nền Toán học, phương trình hàm đóng vai trò quan trọng không chỉ trong lí thuyết hàm số mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác. Phương trình hàm cũng giống như phương trình đại số trong toán học ở bậc trung học nhưng ẩn của phương trình hàm là một hoặc nhiều hàm số. Vì thế các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng bao gồm các loại phương trình tuyến tính, phi tuyến tính và phương trình một ẩn hàm, phương trình nhiều ẩn hàm. Phần này trình bày vài nét về sự ra đời của phương trình hàm.
- 1.1.1. Nicole Orsme (1323-1328)
Nicole Orsme là một trong những nhà khoa học lớn ở thế kỉ XIV, là một nhà toán học người Pháp. Những nghiên cứu của ông góp phần không nhỏ đối với khoa học thời Phục Hưng. Năm 1348, Nicole Orsme giành được học bổng của Đại học Pari. Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm hiệu trưởng trường Đại học Navarre của Pháp.
Chuyên đề phương trình hàm đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm. Từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Orsme đã xác định hàm số bậc nhất là một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số thỏa mãn với mọi , đôi một phân biệt, đó là phương trình hàm
. (1.1)
Và Nicole Orsme đã tìm được nghiệm của phương trình (1.1) là: với a,b là hằng số.
- 1.1.2. Gregory of Saint- Vincent (1584-1667)
Những năm sau đó, phương trình hàm được biết đến rộng rãi hơn nhưng chưa có một lý thuyết chung nào cho các phương trình hàm khi đó. Gory of Saint– Vincent là một trong số những nhà toán học lớn thời đó được xem là người đi đầu về lý thuyết Logarithm đã tìm ra hàm hypebol trong phương trình hàm:.
Ông đã xét bài toán diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đường
;;.
Ông kí hiệu diện tích đó là và chứng tỏ rằng thỏa mãn phương trình hàm
, (1.2)
đó chính là hàm logarit
với và . (1.3)
Tuy nhiên, nghiệm của phương trình hàm, thì những năm sau đó nhờ Augustin- Louis Cauchy mới tìm ra được cách giải.
1.1.3 Augustin- Louis Cauchy (1789-1857)
Augustin- Louis Cauchy là một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Pari và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857. Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm ở Parthenon. Ở đó vua Parthenon đặt ra kỳ thi học sinh giỏi cho tất cả các trường của nước Pháp. Cauchy đứng đầu lớp và đạt nhiều giải nhất về các môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp. Ông vào học trường bách khoa pari lúc 16 tuổi.
Tháng 9 năm 1812, khi 23 tuổi ông trở bệnh do làm việc quá sức nên đã quay về Paris. Năm 1813, ông từ bỏ nghề kĩ sư để chuyên lo về toán học. Cauchy dạy toán ở trường Bách Khoa và thành hội viên hàn lâm viện khoa học Pháp. Năm 1818, Cauchy kết hôn với Aloise de Bure. Vợ ông là một họ hàng của các nhà xuất bản đã xuất bản hầu hết các công trình của ông. Ông có hai con gái là Marie Francoise Alicia (1819) và Marie Mathilde (1823).
Bước vào tuổi 27, ông là nhà toán học xuất sắc thời bấy giờ, ông nghiên cứu ở nhiều lĩnh vực. Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm với ẩn số phức. Cauchy đóng góp rất nhiều trong lĩnh vực toán tích phân và toán vi phân.
Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn để nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy trong toán học.
Một trong những phương trình hàm nổi tiếng đó là phương trình hàm Cauchy có dạng
, . (1.4)
Nghiệm của phương trình (1.4) là :.
1.1.4 Jean d’Alembert (1717-1783)
Jean d’Alembert là một trong những nhà toán học người Pháp. Khi lên đại học, ông theo ngành luật rồi y nhưng nhanh chóng chuyển sang toán và thành đạt, được bầu vào viện hàn lâm khoa học Pháp năm 1741. Từ năm 1745 ông nổi tiếng trong giới trí thức Paris, tham gia biên soạn bộ Bách khoa từ điển Pháp và đóng góp nhiều vào kho tàng Toán học thế giới. Công trình chính của d’Alembert thuộc về Giải tích phức, Giải tích toán học nói chung và lý thuyết xác suất.
Trong lịch sử, Jean d’Alembert có thể được coi là tiền bối về nghiên cứu phương trình Cauchy. Năm 1769, khi nghiên cứu định luật tổng hợp lực theo qui tắc hình bình hành, ông đã xét phương trình
. (1.5)
với . Phương trình (1.5) được gọi là phương trình d’Alembert. Yêu cầu đặt ra là phải tìm tất cả các hàm thỏa mãn phương trình (1.5). Việc phân tích, tìm nghiệm của phương trình khó khăn hơn so với phương trình Cauchy. Từ phương trình này ta liên tưởng đến các tính chất của các hàm số lượng giác. Xét các hàm số lượng giác đơn giản ta thấy hàm số thỏa mãn nhưng hàm số thì lại không thỏa mãn. Sau đó, người ta đã chỉ ra các nghiệm đó có dạng
.
với việc chọn các hằng số a,b phù hợp. Tuy nhiên khi thay vào phương trình (1.5) ta được , suy ra hoặc lần lượt tương ứng với trường hợp và . Nếu g(x) là một nghiệm bất kì của phương trình (1.5) thì g(ax) cũng là một nghiệm.
Khi đó, nghiệm ban đầu có thể mở rộng thành hoặc .
Với suy luận như vậy, người ta lại đặt câu hỏi liệu ngoài các nghiệm trên thì còn có nghiệm nào khác không ? Câu trả lời là có. Sau đó vào năm 1821, Cauchy đã giải được phương trình hàm trên với điều kiện g(x) là hàm liên tục và thu được nghiệm là
;; ().
1.2. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Phương trình hàm là phương trình đặc biệt mà ẩn của nó là các hàm số, giải phương trình hàm là việc tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình hàm đã cho và một số điều kiện cho trước.
Sau đây là một số ví dụ về phương trình hàm
Ví dụ 1.1. Tìm hàm số biết
,. (1.6)
Giải
Đặt , .
Thay vào (1.6), ta được
.
Suy ra
.
Thử lại ta thấy thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy hàm số cần tìm là: ,.
Ví dụ 1.2. Xác định các hàm số thỏa mãn điều kiện
. (1.7)
Giải
Đặt . Thay vào (1.7) ta được
. (1.8)
Tiếp tục đặt , thay vào (1.8) ta được
,.
Do đó là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2, tùy ý trên .
Vậy
,
trong đó là hàm phản tuần tuần hoàn chu kỳ 2, tùy ý trên .
Ví dụ 1.3. Hàm số xác định, liên tục với mọi và thỏa mãn điều kiện
.
Hãy tìm hai hàm số như thế.
Giải
Từ phương trình đã cho ta có thể viết lại dưới dạng
. (1.9)
Vế phải của phương trình (1.9) là một hàm số tuyến tính. Do đó ta giả sử hàm số cần tìm có dạng : .
Khi đó (1.9) trở thành
.
Đồng nhất hệ số ta được
Vậy ta được hai hàm số cần tìm là
,.
Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 1.4. Tìm hàm biết
. (1.10)
Giải
Đặt .
Phương trình (1.10) trở thành
. (1.11)
Từ (1.10) và (1.11) ta có hệ
Trừ vế theo vế của hệ ta được
.
Suy ra
.
Thử lại thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy hàm số cần tìm là
,().
1.3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong mảng toán về phương trình hàm. Trong lý thuyết về phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy được nghiên cứu từ rất lâu và các tính chất của nó được ứng dụng nhiều trong các nghành khoa học và tự nhiên. Nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm Cauchy mà nhiều bài toán về phương trình hàm được giải quyết ngắn gọn và dễ hiểu.
F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN 2015\TOAN SO CAP\NGUYEN THI BICH HUYEN
