KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ NGHIỆM SUY RỘNG CỦA BÀI TOÁN HYPERBOLIC

KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ NGHIỆM SUY RỘNG CỦA BÀI TOÁN HYPERBOLIC

MỞĐẦU

1. Tínhcấpthiếtcủađềtài:

Phương trìnhđạohàm riêng rađờivào khoảngthếkỉthứXVII do nhucầucủacơhọcvà các ngành khoahọckhác. Nó ngày càng có vai trò quan trọng vàđượcứngdụng rộng rãi trong nhiều ngành khoahọcvà công nghệ nhưtốiưu,điềukhiểntốiưu, trò chơi vi phân, tính toán khoa học,. . . Ngày nay, phương trìnhđạohàm riêngtrởthànhmộtbộmôn toánhọccơbảnvừamang tính lýthuyết,vừamang tínhứngdụng rộng.Trướcsựphát triển nhưvũ bãocủakhoahọccông nghệ, chắc chắn rằng phương trìnhđạo hàm riêngsẽcòn phát triển mạnhmẽhơnnữatrong tương lai, mởramộtconđườngcho những ai yêu thích nghiêncứutoánhọcứngdụng.

Trong quá trìnhhọctập, tôiđãđượcthầy côdạyvềbộmôn này, nhưng chưađượctìm hiểu sâuvềnó. Cho nên, khiđượclàm luận văn liên quanđếncác phương trìnhđạohàm riêng tổng quát hơn tôirấtcó hứng thú. Tuy nhiên, khi thực hiệnđềtài này tôi thấy rằng,mặcdù trênthếgiới phương trìnhđạohàm riêngđãvà đang phát triển mạnh, nhưngởnướctavẫncòn ít sách viết vềchủđềnày. Vì thế,đượcsựgợiýcủathầyhướngdẫn,đểbướcđầulàm quenvớiphương trìnhđạohàm riêng, trong luận văn của mình tôiđãtìm hiểuvềkhông gian Sobolev và nghiệm suy rộng củabài toán Hyperbolic. Vìthếđềtài nghiêncứutrong luận văn củaem mang tên: “Không gian Sobolev và nghiệm suy rộng của bài toán Hyperbolic”.

2

2.Mụctiêu nghiêncứu:

+ Cungcấpnhững kiến thức cơbảncủagiải tích,đạisốtuyến tính và phương trìnhđạohàm riêng tuyến tínhcấp2.

+ Trình bày lý thuyết không gian Sobolev,mộtkhông gian hàm có nhiềuứngdụng trong toánhọctính toán.

+ Trình bàyhệthống lý thuyếtvềnghiệm suy rộng trong không gian Sobolev. Phụcvụviệc nghiêncứuvềsựtồntạiduy nhất nghiệm suy rộngcủabài toán giátrịbiên banđầudạng Hyperbolic.

3.Đốitượngnghiên cứu:

Đềtàiđặttrọng tâm vào lý thuyếtvềkhông gian Sobolev vànghiệm suy rộngcủabài toán Hyperbolic.

4. Phương pháp nghiên cứu:

+ Thu thập các tài liệucủacác tácgiảnghiêncứuvềphương trìnhđạohàm riêng.

+ Tham gia các buổi seminarcủathầyhướngdẫnđểtraođổi cáckếtquảđang nghiên cứu. Traođổiqua emailvớicác chuyên giavềcácứngdụngcủaphương trìnhđạohàm riêng.

5.Bốcụcđềtài:

Ngoài phầnmởđầu,kếtluận và tài liệu tham khảođềtàiđược chia thành 2 chương

+ Chương 1đượcdànhđểtrình bày không gian Sobolev, các tính chất, cácđịnhlý nhúng.Đâylà các không gian thường gặp tronghầuhếtcác ngành khoa học. Những kiến thứcởchương này lànềntảngđểtiếpcậnnộidungởchương tiếp theo.

+ Chương 2 lànộidung trọng tâmcủađềtài này. Trong đó, tôiđềcậpđếnlý thuyếtvềnghiệm suy rộng trong không gian

3

Sobolev cho bài toán giátrịbiên banđầudạng Hyperbolic.

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu:

+ Tổng quan cáckếtquảcủacác tácgiảđãnghiêncứuliên quanvềphương trìnhđạohàm riêng nhằm xây dựngmộthệthống lý thuyếtvềcác không gian hàm.

+ Chứng minh và làm rõ các mệnhđề,cũng nhưđưara một sốbài toán, vídụminhhoạnhằm làm sángtỏvấnđềđangđược nghiên cứu.

4

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN SOBOLEV

Sobolev S.Lđãxây dựng không gian này vào khoảngthếkỷ20 vàtừđóđếnnay nhiều nhà toánhọckhácđãtiếptụcmởrộng và phát triểnđểnghiên cứu.Mộtkhông gian phiếm hàmđượcsửdụng rộng rãi trong lý thuyết phương trìnhđạohàm riêng là không gian Sobolev.Ởchương này tôi trình bày kiến thứcvềkhông gian Sobolev, các tính chất, cácđịnhlý nhúng.

1.1. KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC VÀ HÀM KHẢVI LIÊNTỤC

1.1.1. Không gianđịnhchuẩn C(Q) và C^k(Q)

Tậpcác hàm cóđạohàm riêng liêntụcđếncấpk trong Q, k làsốnguyên không âmđượckí hiệu là C^k(Q),tậpconcủanógồmnhững hàm trên màđạohàm riêngđếncấpkcủanó là liên

tụctrong Q¯đượckí hiệu là C^k(Q¯).

Khi k = 0, C⁰(Q) và C⁰(Q¯)củanhững hàm liêntụctrong Q và Q¯lầnlượtđượckí hiệu là C(Q) và C(Q¯).

Ta kí hiệu C^∞(Q) làtậpcác hàm thuộc vào cáctậpC^k(Q)với

∞

k = 0, 1, …,tứclà C^∞(Q) =

k=0

C^k(Q) và C^∞(Q) làtậpcác hàm

∞

thuộc cáctậpC^k(Q), k = 0, 1, …tứclà C^∞(Q) =

C^k(Q).

TậpC˙

^k(Q)gồmtấtcảcác hàm thuộc C^k(Q¯

k=0

) và có giá com-

pact;tậpgiaocủanhữngtậpnàyđượckí hiệu là C˙

∞

C˙^k(Q).

k=0

TậpC(Q¯) làmộtkhông gian tuyến tính.

^∞(Q); C˙

^∞(Q) =

5

1.1.2. Công thức Ostrogradsky

1.2. KHÔNG GIAN CÁC HÀMKHẢTÍCH 1.2.1. Không gian L₁(Q) và L₂(Q)

Xét không giangồmtậpcác hàm giátrịthựckhảtích trên Q.

Đâylà không gian tuyến tính và phiếm hàm |f(x)|dx thỏa mãn

Q

tấtcảcác tiênđềcủamộtchuẩn. Không gian tuyến tính nàyđược kí hiệu là L₁(Q)

f _L1(Q) = |f(x)|dx. (1.7)

Q

Tậpcác hàm giátrịphức đođượcmà bình phươngtrịtuyệtđối củanókhảtích trên Qđượckí hiệu là L₂(Q).

1.2.2. Tính chấtcủacác không gian L₁(Q) và L₂(Q)

Địnhlý 1.2.1 L₁(Q) là không gian Banachvớichuẩn

f _L1(Q) = |f(x)|dx. (1.7)

Q

L₂(Q) là không gian Hilbertvớitích vôhướng

(f₁, f₂) =

f₁(x)f₂(x)dx. (1.8)

L2(Q)

Q

Địnhlý 1.2.2Tậpcác hàm liêntụctrong Q¯

trùmậtkhắp nơi

trong L₁(Q) và L₂(Q).

Địnhlý 1.2.3 L₁(Q) và L₂(Q) là các không giankhảly.

6

1.3.ĐẠOHÀM SUY RỘNG

1.3.1.Địnhnghĩađạohàm suy rộng

Choα= (α₁, …,α_n) làmộtvectơvớicác thành phần nguyên không âm. Hàm f^α(x)∈L₂(Q)đượcgọilàđạohàm suy rộngcấpαcủahàm f(x)∈L₂(Q) trong Qnếu

f_xD^αg(x)dx = (−1)^|α| f^α(x)g(x)dx (1.13)

Q Q

vớibấtkỳg(x)∈C˙^|α|(Q).

Đạohàm suy rộngcủahàm f(x) có những tính chất sau:

1. Hàm f(x)chỉcómộtđạohàm suy rộng f^α(x).

2. Hàm f(x) cóđạohàm suy rộng f^α(x) bằng D^αf(x). nếu hàm f(x) là hàm hằnghầukhắp nơi trong Q thì nó cóđạohàm suy rộng f^α(x) = 0với|α| > 0.

^{3.Đốivớihàm trơn g(x)đạohàm}∂xα∂1|α|…∂gx^αn

khôngphụthuộc

1

vàothứtựcủaphéplấyđạohàm.

n

4.Nếucác hàm f_i(x), i = 1, 2, … cóđạohàm suy rộng D^αf_i thì hàm c₁f₁ + c₂f₂ vớic_i, i = 1, 2, … hằngsố,cũng cóđạohàm suy rộng D^α(c₁f₁ + c₂f₂) = c₁D^αf₁ + c₂D^αf₂.

Vídụ1.3.1. TrongquảcầuQ = {|x| < 1}, hàm f(x) = signx₁ cóđạohàm suy rộngcấpmộtf_xi = 0, i = 2, …, n nhưng không cóđạohàm suy rộng f_x1.

1.4. KHÔNG GIAN SOBOLEV

1.4.1. Không gian Hilbert H^k(Q)

Kí hiệu H^k(Q) làtậpcác hàm thuộc L₂(Q) và cótấtcảđạo hàm suy rộngđếncấpk, k 1. Khi k = 0, ta kí hiệu H⁰(Q) =

7

L₂(Q). Không gian H^k(Q) làmộtkhông gian Hilbertvớitích vôhướng

(f, g)_Hk_(Q) = D^αfD^αgdx. (1.16)

|α| kQ

1.4.2.Mộtsốtính chấtcủakhông gian H^k(Q) 1)Nếumiền Q ⊂Q và f∈H^k(Q) thì f∈H^k(Q ).

2)Nếuf∈H^k(Q) và a(x)∈C^k(Q¯) thì af∈H^k(Q).

3)Nếuf∈H^k(Q) và có giá compact trong Q thìmộthàm bằng f trong Q và bằng 0 bên ngoài Q thuộc vào H^k(Q )vớiQ bấtkỳ,Q ⊃Q.

5)Nếumiền Q làmộthìnhhộpchữnhật thì C^∞(Q¯) làmột

tậptrùmậtkhắp nơi trong H^k(Q).

6) (Thác triển hàm)Giảsửhàm f(x) xácđịnhtrên miền Q và miền Q chứa Q.Mộthàm F(x) xácđịnhtrên Q và trùng với f(x) trong Qđượcgọilà thác triểncủahàm f(x) lên Q .

Địnhlý 1.4.1. (Tính trù mật)Tậpcác hàm C^∞(Q¯) trùmật

khắp nơi trong không gian H^k(Q).

Địnhlý 1.4.2. (Tínhkhảly) Không gian H^k(Q) làmộtkhông giankhảly.

1.5. TÍNH CHẤTCỦAHÀM THUỘC H¹(Q)

1.5.1.Vếtcủahàm

Cho hàm f∈C(Q) và S làmộtmặttrơn (n−1) chiềunằm

trong Q.Vếtf|_S củahàm f trênmặtS là giátrịcủahàm f trên mặtS.

Địnhlý 1.5.1Giảsửmộtmiền S (n−1) chiềucủalớpC¹

hoặc thuộc Q , Q Q, hoặc thuộc S⊂Q¯và∂Q∈C¹. Khi đó, bấtkỳhàm f(x)∈H¹(Q)đềucóvếtf|_S trênmặtnày màvếtđó

8

thuộc L₂(S) vàbấtđẳngthức

f _L2(S) C f _H1_(Q), (1.21)

đúng,vớihằngsốC dương khôngphụthuộc vào hàm f.

1.5.2. Công thức tích phân từng phần

1.5.3. Tính chấtvếtcủahàm thuộc H¹(Q)

Bổđề1.5.2.Nếuf∈H¹(Q) vàvếtcủanó trên biên f|_∂Q= 0

thì:

f

L2(Q\Qδ)

khiδ→0

= o(δ) ( 1.27)

Địnhlý 1.5.3Mộttậpbịchặn trong H¹(Q) thì compact trong L₂(Q).

Địnhlý 1.5.4Nếumộttậpcác hàmbịchặn trong H¹(Q) thì

tậpcácvếtcủachúng trênmặtΓ(n−1) chiều,Γ⊂Q¯,củalớpC¹

sẽcompact trong L₂(Γ).

1.5.4. Chuẩn tươngđươngtrong H¹(Q)

Trên H¹(Q) ta xácđịnhdạng song tuyến tính Hermitian

W (f,g) =

Q

n

p_ijf_xig_xjdx +

i,j=1 Q

qfgdx +

∂Q

rfgdS (1.28)

Địnhlý 1.5.5.Nếuma trận P (x) xácđịnhdương,tứclà với bấtkỳvectơ phứcξ= (ξ₁, …,ξ_n) vàvớimọix∈Q,

n n

p_ij(x)ξ_iξ_j γ |ξi|2 (1.29)

i,j=1 i=1

vớiγlà hằngsốdương, hàm q(x) 0 trên Q, r(x) 0 trên∂Q và q(x) khôngđồngnhấtvới0 hoặc r(x) khôngđồngnhấtvới0

9

thì dạng song tuyến tính (1.28) xácđịnhtrên H¹(Q)mộttích vôhướngtươngđươngvớitích vô hướng:

(f,g)_H1_(Q) = (∇f∇g + fg)dx. (1.30)

Q

Hệquả1.5.6 Cho dạng song tuyến tính

W (f,g) =

Q

(p∇f∇g + qfg) dx +

∂Q

r(x)fg dS

vớip(x)∈C(Q), q(x)∈C(Q), r(x)∈C(∂Q), p(x) const > 0, q(x) 0 trong Q, r(x) 0 trên∂Qvà q(x)≡0 trong Q hoặc r(x)≡0 trên∂Q. Khiđó,W (f,g) xácđịnhtrong H¹(Q)mộttích vôhướngtươngđươngvớitích vôhướng(1.30).

1.6. KHÔNG GIAN C^R,0 VÀ C^2S,S. KHÔNG GIAN H^R,0 VÀ H^2S,S

Cho D làmộtmiềnbịchặn trong không gian R_n, x = (x₁, …, x_n) làmộtđiểmtrong R_n và Q_T = {x∈D, 0 < t < T } là hìnhtrụcóchiều cao T > 0 trong không gian R_n+1 = R_n×{−∞< t <∞}.

1.6.1. Không gian Banach C^r,0(Q_T ) và C^2s,s(Q_T )

Kí hiệutậpcác hàm f(x, t) liêntụctrong Q_T và có cácđạo

hàm ∂x∂αα11+_…∂x···+αnα_nn+_∂tβf_β vớiα₁, …,α_n,βnguyên không âm thỏaα₁ +

1

···+α_n + 2β 2s là C^2s,s(Q_T ) trongđós làsốnguyên, s 1.

Trong trườnghợpβ= 0tứclàđốivớihàm f(x, t) liêntục

trong Q_T

tồntạiđạohàm

∂∂xα1^α1+¹···…∂x+αnαnnf vớiα1, …,αn nguyên không

âm thỏaα₁ +···+α_n r ta kí hiệu là C^r,0(Q_T ) trongđór làsố

nguyên, r 1.

Khi r = 0 và s = 0, không gian C^r,0(Q_T ) và C^2s,s(Q_T )trởthành không gian C^0,0(Q_T ) = C(Q_T ).

10

1.6.2. Không gian Hilbert H^r,0(Q_T ) và H^2s,s(Q_T ) Kí hiệutậpcác hàm f(x, t) cùngvớiđạohàm suy rộng

∂^{α1+···+αn+β}f

∂x^α₁ ¹…∂x^αn_n ∂t^β

vớiα₁, …,α_n,βnguyên không âm thỏaα₁ +···+α_n + 2β 2s, thuộc L₂(Q_T ) là H^2s,s(Q_T ) trongđós làsốnguyên, s 1.

Khiβ= 0tứclàđốivớicác hàm f(x, t) cùngvớiđạohàm suy

rộng^∂α1+

∂xα₁1

···…∂x+αnαnnf vớiα1, …,αn nguyên không âm thỏaα1 +···+

α_n r, thuộc L₂(Q_T ) ta kí hiệu là H^r,0(Q_T ) trongđór làsố

nguyên, r 1.

Không gian H^r,0(Q_T )vớir = 0 và không gian H^2s,s(Q_T ) với s = 0trởthành không gian H^0,0(Q_T ) = L₂(Q_T ).

LIỆN HỆ:

SĐT+ZALO: 0935568275

F:\DỮ LIỆU COP CỦA CHỊ YẾN\DAI HOC DA NANG\LUAN VAN KY THUAT\LUAN VAN 2014\LUAN VAN TOAN SO CAP\PHAM THI BAY